1. Okrąg przechodzący przez punkt A= (-1, 1) jest styczny do prostej y= x-2 w punkcie P= (4,2). Wyznacz równanie tego okręgu.
2. Napisz równanie okręgu o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) stycznego do prostej x-2y-1=0 w punkcie A=(3,1).
3. Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkt M=(0,1) i stycznego do dwóch prostych o równaniach \(\displaystyle{ x+y-2=0}\) i \(\displaystyle{ x+y+3=0}\)
Z góry dziękuję za odpowiedź.
Równanie okręgu...
-
- Użytkownik
- Posty: 3507
- Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1260 razy
Równanie okręgu...
1.
Równanie prostej prostopadłej do y=x-2 przechodzącej przez punkt P=(4;2):
y=-x+b
2=-4+b
b=6
y=-x+6.
Na prostej y=-x+6 leży srodek okręgu S=(a;b)=(a;-a+6)
Ponieważ |AS|=|PS| więc:
\(\displaystyle{ \sqrt{(a-4)^2+(-a+6-2)^2}=\sqrt{(a+1)^2+(-a+6-1)^2}}\)
skąd łatwo policzyć a i następnie b oraz r.
2 - analogicznie.
[ Dodano: 7 Stycznia 2008, 14:02 ]
3.
Dane w zadaniu proste są równoległe, więc odległość między nimi jest średnicą szukanego okręgu.
Np. punkt (2;0) należy do prostej y=-x+2, więc jego odległość od drugiej prostej jest w/w średnicą:
\(\displaystyle{ 2r= \frac{|2+0+3|}{\sqrt{1^1+1^1}}= \frac{5\sqrt2}{2} \\ r=\frac{5\sqrt2}{4}}\)
Środek okręgu leży na prostej równoległej do danych i położonej w jednakowej odległości od obu tych prostych (po środku między nimi), której równanie ma postać: y=-x-0,5.
Zatem środek S=(a;b)=(a;-a-0,5) i wówczas:
\(\displaystyle{ \sqrt{(a-0)^2+(-a-0,5-1)^2}=r=\frac{5\sqrt2}{4}}\)
skąd po rozwiązaniu \(\displaystyle{ a=- \frac{7}{4}\vee a= \frac{1}{4}}\)
Równanie prostej prostopadłej do y=x-2 przechodzącej przez punkt P=(4;2):
y=-x+b
2=-4+b
b=6
y=-x+6.
Na prostej y=-x+6 leży srodek okręgu S=(a;b)=(a;-a+6)
Ponieważ |AS|=|PS| więc:
\(\displaystyle{ \sqrt{(a-4)^2+(-a+6-2)^2}=\sqrt{(a+1)^2+(-a+6-1)^2}}\)
skąd łatwo policzyć a i następnie b oraz r.
2 - analogicznie.
[ Dodano: 7 Stycznia 2008, 14:02 ]
3.
Dane w zadaniu proste są równoległe, więc odległość między nimi jest średnicą szukanego okręgu.
Np. punkt (2;0) należy do prostej y=-x+2, więc jego odległość od drugiej prostej jest w/w średnicą:
\(\displaystyle{ 2r= \frac{|2+0+3|}{\sqrt{1^1+1^1}}= \frac{5\sqrt2}{2} \\ r=\frac{5\sqrt2}{4}}\)
Środek okręgu leży na prostej równoległej do danych i położonej w jednakowej odległości od obu tych prostych (po środku między nimi), której równanie ma postać: y=-x-0,5.
Zatem środek S=(a;b)=(a;-a-0,5) i wówczas:
\(\displaystyle{ \sqrt{(a-0)^2+(-a-0,5-1)^2}=r=\frac{5\sqrt2}{4}}\)
skąd po rozwiązaniu \(\displaystyle{ a=- \frac{7}{4}\vee a= \frac{1}{4}}\)
- Lady Tilly
- Użytkownik
- Posty: 3807
- Rejestracja: 4 cze 2005, o 10:29
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: nie wiadomo
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 712 razy
Równanie okręgu...
2)
\(\displaystyle{ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=5}\)
\(\displaystyle{ x=2y+1}\) stąd \(\displaystyle{ (2y+1-a)^{2}+(y-b)^{2}=5}\) warunek by \(\displaystyle{ \Delta=0}\) jest to równanie kwadratowe z parametrami a oraz b.
dodatkowo
\(\displaystyle{ (3-a)^{2}+(1-b)^{2}=5}\)
\(\displaystyle{ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=5}\)
\(\displaystyle{ x=2y+1}\) stąd \(\displaystyle{ (2y+1-a)^{2}+(y-b)^{2}=5}\) warunek by \(\displaystyle{ \Delta=0}\) jest to równanie kwadratowe z parametrami a oraz b.
dodatkowo
\(\displaystyle{ (3-a)^{2}+(1-b)^{2}=5}\)