Działania na wektorach

[Miala90]

Znajdz wspólzędne:

a) wektora o długości \(\displaystyle{ 1}\) równoległego do wektora \(\displaystyle{ \vec{u}=[3,-4]}\),

b) wektora o długości \(\displaystyle{ 5}\) równoległego do wektora \(\displaystyle{ \vec{v}=[-\frac{\sqrt{5}}{2},-1]}\).

Proszę o wyjaśnienie wyników. Będę bardzo wdzięczna.

Oczywiście jest już trochę za późno dla mnie, ale jak ktoś czeka na wyniki to proszę pisać napisze rozwiązania.

[JankoS]

a) Oznaczam szukany wektor \(\displaystyle{ \vec{w} = [a,b].}\) jest on równoległy do danego, więc istnieje rzeczywista k, taka że
\(\displaystyle{ [a,b]=k [3,-4]=[3k,-4k].}\)
Stąd i z definicji równości wektorów:
\(\displaystyle{ a=3k}\) i \(\displaystyle{ b=-4k.}\)
Podstawiam do wzoru na długość wektora:
\(\displaystyle{ | \vec{w} |= \sqrt{(3k) ^{2}+(4k) ^{2} }= \sqrt{25k ^{2} }=5|k|=1}\)
\(\displaystyle{ k=-\frac{1}{5}}\) lub \(\displaystyle{ k=\frac{1}{5}.}\)
Odp.: \(\displaystyle{ \vec{w}= ft[-\frac{3}{5},\frac{4}{5} \right]}\) lub \(\displaystyle{ \vec{w}= ft[\frac{3}{5},-\frac{4}{5} \right] .}\)
b) Tak samo. Powinno wyjść \(\displaystyle{ \left[ \frac{5 \sqrt{5}}{3},\frac{10}{3}\right]}\) lub \(\displaystyle{ \left[-\frac{5 \sqrt{5}}{3}}\ ,\ -\frac{10}{3}} \right] .}\)

[ziuteq]

Dany jest trójkąt ABC, wyznaczono odcinek KM taki ze |AK|=|KC| i |CM|=|MB|, Jak udowodnić że KM || AB, oraz |KM|= 0,5|AB|. Prosiłbym o dowody wektorowe , z góry dzieki:)

[JankoS]

\(\displaystyle{ \vec{AB}+ \vec{BC}+ \vec{CA}= \vec{0} \\ \vec{AB}+2 \vec{BM} +2 \vec{KA}= \vec{0} \\ 2 ( \vec{BM}+ \vec{KA}) =- \vec{AB} \\ \vec{BM}+ \vec{KA}=-\frac { \vec{AB}}{2}}\)
To ostatniee podstawiam do związku
\(\displaystyle{ \vec{AB}+ \vec{BM}+ \vec{MK}+ \vec{KA}= \vec{0}\\ \vec{AB}-\frac { \vec{AB}}{2}+ \vec{MK}= \vec{0}\\ \vec{MK}= -\frac { \vec{AB}}{2}}\)