Witam, mam problem z geometria analityczną. Tu mam zadanie które mam wykonać:
Punkty A=(4,-1) i B=(3,4) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC w którym |AB| = |AC|. wysokość AD zawarta jest w równaniu \(\displaystyle{ y=-x+3}\) wyznacz współrzędną wierzchołka C. Prosze was o pomoc i ewentualne wytłumaczenie jak to można rozwiązać.
położenie punktów względem prostej
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
położenie punktów względem prostej
Zauważmy, że wysokość AD jest jednocześnie symetralną boku BC, gdyż trójkąt ABC jest równoramienny.
Wyznaczymy najpierw równanie prostej l zawierającej podstawę BC trójkąta.
Ponieważ \(\displaystyle{ l}\) jest prostopadła do AD, to z warunku prostopadłości prostych wynika, że \(\displaystyle{ y=x+b}\) dla pewnego \(\displaystyle{ b\in\mathbb{R}}\).
Ponadto \(\displaystyle{ B\in l}\), więc \(\displaystyle{ 4=3+b}\), czyli \(\displaystyle{ b=1}\). W konsekwencji prosta l ma równanie \(\displaystyle{ y=x+1}\).
Punkt D jako punkt wspólny prostych l i AD ma współrzędne \(\displaystyle{ (1,2)}\). Wynika to łatwo z odpowiedniego układu równań zawierającego równanie prostej l i prostej AD.
Wiemy jednak, że punkt D jest środkiem podstawy BC trójkąta. Zatem ze wzoru na współrzędne środka odcinka dostajemy łatwo, że punkt C ma współrzędne \(\displaystyle{ (-1,0)}\).
Wyznaczymy najpierw równanie prostej l zawierającej podstawę BC trójkąta.
Ponieważ \(\displaystyle{ l}\) jest prostopadła do AD, to z warunku prostopadłości prostych wynika, że \(\displaystyle{ y=x+b}\) dla pewnego \(\displaystyle{ b\in\mathbb{R}}\).
Ponadto \(\displaystyle{ B\in l}\), więc \(\displaystyle{ 4=3+b}\), czyli \(\displaystyle{ b=1}\). W konsekwencji prosta l ma równanie \(\displaystyle{ y=x+1}\).
Punkt D jako punkt wspólny prostych l i AD ma współrzędne \(\displaystyle{ (1,2)}\). Wynika to łatwo z odpowiedniego układu równań zawierającego równanie prostej l i prostej AD.
Wiemy jednak, że punkt D jest środkiem podstawy BC trójkąta. Zatem ze wzoru na współrzędne środka odcinka dostajemy łatwo, że punkt C ma współrzędne \(\displaystyle{ (-1,0)}\).