2 zad, prosta, okrąg

[ania11]

Zad 1 Jak położone są względem siebie okręgi

a)
\(\displaystyle{ o1:x ^{2} + y ^{2} + 2x - 2y - 7 = 0}\)
\(\displaystyle{ o2:(x-2) ^{2} + (y-3) ^{2} = 64}\)

b)
\(\displaystyle{ o1:(x+4) ^{2} + (y-1) ^{2} = 12}\)
\(\displaystyle{ o2: x ^{2} + y ^{2} - 4x - 2y + 1 = 0}\)

Zad 2 Jak położone są względem siebie prosta i okrąg

a)
\(\displaystyle{ o: (x-2) ^{2} + (y+1) ^{2} = 25}\)
\(\displaystyle{ l: x=3}\)

b)
\(\displaystyle{ o: (x+1) ^{2} + (y - 3) ^{2} = y}\)
\(\displaystyle{ l: y=2}\)

[Szemek]

Zadanie 1
a)
\(\displaystyle{ o1: (x+1)^2-1+(y-1)^2-1-7=0}\)
\(\displaystyle{ o1: (x+1)^2+(y-1)^2=9}\)
\(\displaystyle{ S_1 =(-1,1)}\)
\(\displaystyle{ r_1=3}\)

\(\displaystyle{ S_2=(2,3)}\)
\(\displaystyle{ r_2=8}\)

\(\displaystyle{ |S_1S_2|=\sqrt{(2+1)^2+(3-1)^2} = \sqrt{13}}\)
\(\displaystyle{ r_1+r_2=11}\)
\(\displaystyle{ |r_1-r_2|=5}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{13}}\)
okręgi są rozłączne wewnętrznie

ogólnie:
doprowadzasz do postaci \(\displaystyle{ o: (x-a)^2+(y-b)^2=r^2}\)
odczytujesz współrzędne środka okręgu \(\displaystyle{ S(a,b)}\) i promień \(\displaystyle{ r}\)
wyznaczasz odległość pomiędzy środkami okręgów
określasz zależność pomiędzy promieniem a odległością środków



Zadanie drugie
podobnie jak zadanie pierwsze, tylko tutaj szukana jest odległość środka okręgu od prostej

wzór na odległość punktu od prostej
korzystamy z równania ogólnego prostej \(\displaystyle{ k: Ax+By+C=0}\)
i współrzędnych punktu np. \(\displaystyle{ S(x_s,y_s)}\)
\(\displaystyle{ d(P,k)=\frac{|Ax_s+By_s+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}}\)

dla pierwszego przypadku można szybciej
a)
\(\displaystyle{ d(S,l)=|3-2|=1}\)
b)
trzeba 'pozbyć się' \(\displaystyle{ y}\) po prawej stronie