pole sześciokąta foremnego

[jadzia!!!]

Wykaż,że pole sześciokata foremnego opisanego na pewnym okręgu stanowi 2/3 pola trójkata równobocznego opisanego na tym okręgu.

[Szemek]

rysunek pomocniczy

[dabros]

jeżeli przez \(\displaystyle{ a}\) oznaczymy bok trójkąta, a przez \(\displaystyle{ b}\) sześciokąta, to po łatwych przekształceniach (kłania się Pitagoras) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ R= \frac{a \sqrt{3} }{6} \\ R= \frac{b \sqrt{3} }{2}}\) stąd:
\(\displaystyle{ a=2R \sqrt{3} \\ b= \frac{2}{3}R \sqrt{3}}\)
tak więc pola odpowiednich figur wynoszą:
\(\displaystyle{ P(a)= \frac{a^{2} \sqrt{3} }{4}= \frac{(2R \sqrt{3})^{2} \sqrt{3} }{4}=3 \sqrt{3}R^{2} \\
P(b)=6\frac{b^{2} \sqrt{3} }{4}=6 \frac{( \frac{2}{3}R \sqrt{3})^{2} \sqrt{3} }{4}=2 \sqrt{3}R^{2}}\)
a więc: \(\displaystyle{ \frac{P(b)}{P(a)}= \frac{2 \sqrt{3}R^{2}}{3 \sqrt{3}R^{2}}= \frac{2}{3}}\)