Okrąg, 2 proste i punkt

[Kapol]

Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkt \(\displaystyle{ M=(0,1)}\) i stycznego do dwóch prostych o równaniach \(\displaystyle{ x+y-2=0}\) i \(\displaystyle{ x+y+3=0}\)

[Dargi]

Równanie okręgu to:
\(\displaystyle{ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2}\)
Wyznaczmy \(\displaystyle{ r}\)
Jak widać równania są do siebie równoległe. Odległość między nimi to nic jak \(\displaystyle{ 2r}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ 2r}\) to ni innego jak odległość danego punktu \(\displaystyle{ P\in \prostej\ x+y-2=0}\) do prostej \(\displaystyle{ x+y+3=0}\)
więc \(\displaystyle{ r=\frac{5\sqrt{2}}{4}}\)
Nasze równanie okręgu przedstawia się następująco:
\(\displaystyle{ (x-a)^2+(y-b)^2=\frac{25}{8}}\) Wiemy że punkt \(\displaystyle{ M=(0,1)\in\ okregu}\) więc równanie przedstawia się następujaco:
\(\displaystyle{ a^2+b^2-2b+1=\frac{25}{8}}\)
Jak coś wykombinuje to napisze.

[milaR]

Ponieważ podane proste są równoległe i okrąg ma być styczny do obu prostych to odległość między tymi prostymi musi być równa długości średnicy okręgu czyli 2r
obieram dowolny punkt na pierwszej prostej np.A(1,1) i liczę odległość punktu od drugiej prostej
\(\displaystyle{ \frac{ ft|1+1+3 \right| }{ \sqrt{2} }=2r}\)
\(\displaystyle{ 2r= \frac{5}{ \sqrt{2} }}\)
\(\displaystyle{ r= \frac{5 \sqrt{2} }{4}}\)
równanie okręgu:
\(\displaystyle{ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2}\)
gdzie \(\displaystyle{ S=(a,b)}\) jest środkiem okręgu r promieniem i punkt M=(0;1) należy do okręgu czyli spełnia równanie okręgu
\(\displaystyle{ (0-a)^2+(1-b)^2= \frac{25}{8}}\) czyli
\(\displaystyle{ a^2+(1-b)^2= \frac{25}{8}}\)
teraz wykorzystamy wiadomość, że odległość środka okręgu od prostej musi być równa promieniowi, czyli
\(\displaystyle{ \frac{ ft| a+b-2\right| }{ \sqrt{2} } = \frac{5 \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \left| a+b-2\right| =5}\)
\(\displaystyle{ a+b-2=5 a+b-2=-5}\)
\(\displaystyle{ a=7-b a=-3-b}\)
wstawiamy do równania okręgu i szukamy b, później a , mamy środek i promień
Okazuje się że są dwa takie okręgi
Powodzenia!

[ Dodano: 25 Grudnia 2007, 19:25 ]
Zrobiłam błąd:
\(\displaystyle{ \frac{ ft|a+b-2 \right| }{ \sqrt{2} }= \frac{5 \sqrt{2} }{4}}\)
\(\displaystyle{ \left|a+b-2 \right|= \frac{5}{2}}\)
\(\displaystyle{ a=b-2= \frac{5}{2 } a+b-2=- \frac{5}{2}}\)

[Dargi]

Można łatwiej :] Odległość dwóch punktów od siebie:]
\(\displaystyle{ (a-0)^2+(b-1)^2=r^2}\)