Utknąłem na takim, nieciekawie wyglądającym zadaniu:
Napisz równania stycznych do okręgu \(\displaystyle{ o: x ^ {2} +y ^ {2} -2x +4y+1=0}\) i nachylonych do osi OX pod kątem \(\displaystyle{ \alpha = 135 ^ {o}}\)
Koła i kąty
-
Szemek
- Użytkownik
- Posty: 4819
- Rejestracja: 10 paź 2006, o 23:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 1407 razy
Koła i kąty
\(\displaystyle{ o: x ^ {2} +y ^ {2} -2x +4y+1=0}\)
\(\displaystyle{ o: (x-1) ^ {2} +(y+2)^ {2}=4}\)
środek okręgu \(\displaystyle{ S(1,-2)}\), promień \(\displaystyle{ r=2}\)
Wyznaczmy wzór prostej \(\displaystyle{ k}\) prostopadłej do stycznych przechodzącą przez środek okręgu:
Kąt nachylenia do osi OX jest o \(\displaystyle{ 90^{\circ}}\) mniejszy niż stycznych.
\(\displaystyle{ a=tg45^{\circ}}\)
\(\displaystyle{ a=1}\)
\(\displaystyle{ k:y=x+b}\)
\(\displaystyle{ S k}\)
\(\displaystyle{ -2=1+b}\)
\(\displaystyle{ b=-3}\)
\(\displaystyle{ k:y=x-3}\)
Prosta \(\displaystyle{ k}\) przetnie okrąg w dwóch punktach będącymi jednocześnie punktami wspólnymi okręgu i szukanych stycznych.
Do rozwiązania układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-1) ^ {2} +(y+2)^ {2}=4 \\ y=x-3 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \ldots}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= 1-\sqrt{2} \\ y= -2-\sqrt{2} \end{cases} \begin{cases} x= 1+\sqrt{2} \\ y= -2+\sqrt{2} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ A(1-\sqrt{2},-2-\sqrt{2}), \ B(1+\sqrt{2},-2+\sqrt{2})}\)
Niech proste \(\displaystyle{ l_1, l_2}\) będą szukanymi stycznymi.
Ich współczynnik kierunkowy wynosi:
\(\displaystyle{ a=tg135^{\circ}}\)
\(\displaystyle{ a=-1}\)
\(\displaystyle{ l_1,l_2: \ y=-x+b}\)
końcówka do wyliczenia:
\(\displaystyle{ A l_1}\)
\(\displaystyle{ y_A = -1 x_A + b}\)
\(\displaystyle{ B l_2}\)
\(\displaystyle{ y_B = -1 x_B + b}\)
\(\displaystyle{ o: (x-1) ^ {2} +(y+2)^ {2}=4}\)
środek okręgu \(\displaystyle{ S(1,-2)}\), promień \(\displaystyle{ r=2}\)
Wyznaczmy wzór prostej \(\displaystyle{ k}\) prostopadłej do stycznych przechodzącą przez środek okręgu:
Kąt nachylenia do osi OX jest o \(\displaystyle{ 90^{\circ}}\) mniejszy niż stycznych.
\(\displaystyle{ a=tg45^{\circ}}\)
\(\displaystyle{ a=1}\)
\(\displaystyle{ k:y=x+b}\)
\(\displaystyle{ S k}\)
\(\displaystyle{ -2=1+b}\)
\(\displaystyle{ b=-3}\)
\(\displaystyle{ k:y=x-3}\)
Prosta \(\displaystyle{ k}\) przetnie okrąg w dwóch punktach będącymi jednocześnie punktami wspólnymi okręgu i szukanych stycznych.
Do rozwiązania układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-1) ^ {2} +(y+2)^ {2}=4 \\ y=x-3 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \ldots}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= 1-\sqrt{2} \\ y= -2-\sqrt{2} \end{cases} \begin{cases} x= 1+\sqrt{2} \\ y= -2+\sqrt{2} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ A(1-\sqrt{2},-2-\sqrt{2}), \ B(1+\sqrt{2},-2+\sqrt{2})}\)
Niech proste \(\displaystyle{ l_1, l_2}\) będą szukanymi stycznymi.
Ich współczynnik kierunkowy wynosi:
\(\displaystyle{ a=tg135^{\circ}}\)
\(\displaystyle{ a=-1}\)
\(\displaystyle{ l_1,l_2: \ y=-x+b}\)
końcówka do wyliczenia:
\(\displaystyle{ A l_1}\)
\(\displaystyle{ y_A = -1 x_A + b}\)
\(\displaystyle{ B l_2}\)
\(\displaystyle{ y_B = -1 x_B + b}\)
-
Kapol
- Użytkownik
- Posty: 133
- Rejestracja: 1 gru 2007, o 20:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: TM
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 15 razy
Koła i kąty
ty napisałeś że \(\displaystyle{ a=tg }\)
Właśnie nie wiem czemu. Czy zawsze jest tak we funkcjach, gdy prosta jest nachylona do osi OX pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\) to \(\displaystyle{ a=tg }\). Wiem z rysunków kąta na układzie współrzędnym że \(\displaystyle{ tg = \frac{y}{x}}\). Czyli moje myślenie jest takie że gdy np. \(\displaystyle{ tg = 0,1}\) to \(\displaystyle{ \frac{y}{x}= 0,1 y=0,1x}\).
Podsumowując wzór będzie \(\displaystyle{ y=0,1x+b a=0,1 tg = a}\).
Powiedz mi czy dobrze myślę.
Właśnie nie wiem czemu. Czy zawsze jest tak we funkcjach, gdy prosta jest nachylona do osi OX pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\) to \(\displaystyle{ a=tg }\). Wiem z rysunków kąta na układzie współrzędnym że \(\displaystyle{ tg = \frac{y}{x}}\). Czyli moje myślenie jest takie że gdy np. \(\displaystyle{ tg = 0,1}\) to \(\displaystyle{ \frac{y}{x}= 0,1 y=0,1x}\).
Podsumowując wzór będzie \(\displaystyle{ y=0,1x+b a=0,1 tg = a}\).
Powiedz mi czy dobrze myślę.