geometria analityczna - okręgi

[marss]

Witam. Mam do zrobienia pare zadanek. Za wszelkie wskazówki będę bardzo wdzięczny.

1. Okrąg przechodzi przez punkty wspólne wykresów funkcji f i g określonych wzorami\(\displaystyle{ f(x) = x^{2}- 5x + 6}\) i \(\displaystyle{ g(x)=x+1}\). Jego środek nalezy do prostej \(\displaystyle{ 7x+3y-9=0}\). Znajdź równanie tego okręgu.

2. Środek okręgu przechodzącego przez punkty A=(3,0) B=(0,1) neleży do prostej \(\displaystyle{ y=x+2}\). Znajdź równanie tego okręgu, a następnie znajdź na nim taki punkt C różny od A, że iloczyn skalarny wektorów AB i AC = 0

3. Wyznacz równanie okręgu o środku s=(1,1), który na prostej \(\displaystyle{ x-y+4=0}\) odcina cięciwę o długości \(\displaystyle{ 2\sqrt{2}}\)

4. Znajdź równanie takiego okręgu o środku S=(5,4), który jest styczny zewnętrznie do okręgu \(\displaystyle{ x^{2}+ y^{2} - 4x - 5 = 0}\) Napisz równanie prostej przechodzącej przez środki obu okręgów.

5. Do okręgu \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} - 4x + 4y - 2 = 0}\) poprowadzono w punkcjie A=(3,1) styczną. Wyznacz pole trójkąta utworzonego przez styczną i osie układu współrzędnego oraz oblicz odległość tej stycznej od początku układu.

6. Znajdź równanie stycznych do okręgu \(\displaystyle{ (x+1)^{2} + (y-1)^{2} = 5}\) poprowadzonych z punktu A=(2,0)

7. Znajdź równanie prostej równoległej do prostej o równaniu \(\displaystyle{ 3x+4y+1=0}\) i stycznej do okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x^{2}+ y^{2}- 4x - 2y + 4 = 0}\) .

8. Napisz równanie okręgu o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) stycznego do prostej \(\displaystyle{ x-2y-1=0}\) w punkcie A=(3,1)

9. Wyznacz rówanie okręgu przechodzącego przez punkt A=(-1,1) i stycznego do prostej \(\displaystyle{ y=x-2}\) w punkcie P=(4,2)

10 . Dla jakich wartości parametru m równanie \(\displaystyle{ x^{2}+ y^{2} - 2mx - m^{2} + 2m = 0}\) opisuje okrąd styczny do prostej x=4?

thx z góry

[dem]

Tylko dlatego ,że jesteś z Rzeszowa poprawiłem ci zapis następnym razem będzie Blok.Zapoznaj się z kursem Tex'a.


pozdrawiam.

[Tomasz Rużycki]

We wszystkich zadaniach wystarczy skorzystać z równania okręgu:) Napisz konkretnie, z czym masz problem.

Podam wskazówke do pierwszego:)

Punkty wspólne wyznaczysz bez problemu tych dwóch f-cji, do równania prostej na której leży środek wstaw a=x b=y (środek (a,b) ). Masz 3 równania, trzy niewiadome, dalej sobie poradzisz:)


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

[W_Zygmunt]

Ad 2.
Jeśli A i B należą do okręgu to środek O jest od nich równno oddalony,
czyli leży na symetralnej odcinka AB. Zatem szukamy środka S odcinka AB,
piszemy równanie prostej przechodzącej przez S i prostopadłej do \(\displaystyle{ \vec{AB}}\).
Znajdujemy punkt wspólny prostych. Obliczmy odległość |AO| i piszemy równanie
okręgu o środku O i promieniu r = |AO|.
Teraz szukamy punktu C. Ponieważ \(\displaystyle{ \vec{AB} \vec{AC} = 0}\),
zatem wektory są prostopadłe, czyli trójkąt ABC jest wpisany w okrąg i jest prostokątny.
Wtedy przeciwprostokątna jest średnicą. Piszemy równanie prostej przechodzącej
przez punkty B i O, natępnie znajdujemy punkt wspólny tej prostej i okręgu.

Ad 3.

Prostą \(\displaystyle{ x-y+4=0}\) oznaczam przez "l". Prowadzę prostą "k" prostopadłą do "l".
Punkt S jest środkiem szukanego odcinka. A odległości |SA| i |SB| są równe połowie
długośći cięciwy.

Ad 4.

Okąg zapisujemy
\(\displaystyle{ x^{2}-4x+4+y^{2}= 5+4}\)
\(\displaystyle{ (x-2)^{2}+y^{2}= 3^2}\)
Jak widać promień tego okęgu jest równy różnicy odległości |OS| i promienia
danego okręgu.

Ad 5.

Podobnie jak w zadaniu 4, przekształcamy równanie okręgu do postaci
kanonicznej. Można sprawdzić że punkt A należy do okręgu.
Piszemy równanie prostej k przechodzącej przez A i prostopadłej do \(\displaystyle{ \vec{SA}}\).
Dalej już prosto.

Ad 6.

Szukamy punktu S - środka odcinka OA. Piszemy równanie okęgu ośrodku S
i promieniu
\(\displaystyle{ r = \frac{1}{2} |OA|}\)
Znajdujemy punkty K i M przecięcia okręgów. To są punkty styczności.
Przez te punkty i punkt A, piszemy równania prostych stycznych.

Uf tyle na razie.