Okręgi styczne

Horsemen · Post autor: **Horsemen** » 12 gru 2007, o 18:05

Znajdź zbiór wszystkich okręgów zewnętrznie stycznych do okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x ^{2}+ y^{2}=4}\) i jednocześnie stycznych do prostej o równaniu \(\displaystyle{ y=-2}\)

Byłbym wdzięczny gdyby ktoś zrobił to zadanie i przystępnie wyjaśnił jak dojść do rozwiązania

Lady Tilly · Post autor: **Lady Tilly** » 12 gru 2007, o 18:20

Przyjrzyj się dokładnie obrazkowi - będzie Ci łatwiej określic ten zbiór okręgów.

Wasilewski · Post autor: **Wasilewski** » 12 gru 2007, o 18:23

Wpisujesz to sobie w układ współrzędnych i rozpisujesz warunki.
Z twierdzeniA Pitagorasa:
\(\displaystyle{ R = 2 a^2 + b^2 = (2 + r)^2}\)
Widać z rysunku, że:
\(\displaystyle{ b = -2 + r}\)
Środki będą miały współrzędne \(\displaystyle{ S = (a,b)}\)

Horsemen · Post autor: **Horsemen** » 12 gru 2007, o 19:40

Dalej nie kapuje. Ja próbowałem to robić z twierdzenia o okręgach zewnętrznie stycznych oraz z odległości prostej od punktu.

Wasilewski · Post autor: **Wasilewski** » 12 gru 2007, o 21:43

Narysuj sobie to w układzie współrzędnych i narysuj 1 taki przykładowy okrąg. Wtedy zobaczysz, że odległość od środka układu jest równa 2 + r. Możemy sobie wyobrazić trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a i b oraz przeciwprostokątnej (2 + r), stąd mój pierwszy zapis. Co do drugiego, to odległość środka okręgu od prostej y = -2 jest równa r, czyli b = -2 + r.