Geometria analityczna - równanie okręgu - zadanko

marss · Post autor: **marss** » 17 kwie 2005, o 11:00

Mam problem z zadankiem

Okrąg o promieniu r=3 jest styczny jednocześnie do prostej 4x-3y=0 oraz osi OX. Znajdź jedgo równanie.

Jakby ktoś mógł pomóc byłoby miło

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 17 kwie 2005, o 11:25

Skoro jest styczny do danych prostych, to oznacza, że po wstawieniu ich do równania okręgu, jego wyróżnik powinen być równy zero. Promień masz, sam sobie powineneś poradzić z tą mała wskazówką:)

Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

marss · Post autor: **marss** » 17 kwie 2005, o 11:45

równianie okręgu (x-a)2 + (y-b)2 = r2

2 -> kwadrat

przy prostej 4x-3y=0
czyli za x podstawiam 4 a za y podsatwiam -3 ??

przy prostej y=0
czyli za x podstawiam 0 a za y podsatwiam 1 ??

podstawiam i nic konkretnego mi nie wychodzi. Co robie źle - troche nie rozumiem wskazówki

paulgray · Post autor: **paulgray** » 17 kwie 2005, o 12:12

może prościej: skoro jest styczny do OX, to jego środek ma współrzędne S=(x,3) lub S=(x,-3)
teraz ze wzoru na odl punktu od prostej: \(\displaystyle{ d(S,l)=\frac{|4x-9|}{\sqrt{25}}=3}\) lub \(\displaystyle{ d(S,l)=\frac{|4x+9|}{\sqrt{25}}=3}\)
rozwiązanie dalej banalne-wychodzą Ci jak można było przewidzieć równania 4 okręgów

marss · Post autor: **marss** » 17 kwie 2005, o 12:25

tak też zrobiłem - właśńie miałem o tym pisać ale mnie "paulgray" wyprzedziłeś Mam tylko pytanko o wyjaśnienie sposóbu "Tomasza Rużyckiego " - Mógłbyś go jakoś bardziej wyjaśnić - thx

paulgray · Post autor: **paulgray** » 17 kwie 2005, o 15:02

z równania prostej wyznaczasz x lub y i podstawiasz go do równania okręgu
będzie to równanie kwadratowe z parametrem-i szukasz takiego parametru, żeby miało tylko 1 rozw: by ta prosta nie była sieczną, lecz styczną do tego okręgu

marss · Post autor: **marss** » 28 kwie 2005, o 10:09

paulgray pisze:z równania prostej wyznaczasz x lub y i podstawiasz go do równania okręgu
będzie to równanie kwadratowe z parametrem-i szukasz takiego parametru, żeby miało tylko 1 rozw: by ta prosta nie była sieczną, lecz styczną do tego okręgu

Wyznaczam y z równania następnie podstawiam do równania okręgu czyli (x-a).... Wychodzi mi z tego równanie kwadratowe o współczynniku C=(-2ax) Nom i co dalej ? Za delte mam przyjąć 0, ale co z tej delty mam obliczyć ? a=? Jeśłi tak to wydzhodzi 64/99 Nom i co dalej/ Może mógłby ktoś to jakoś w miare szybko przedsatwić na forum - bo coś sie gubie - thx

olazola · Post autor: **olazola** » 28 kwie 2005, o 11:17

Od kiedy współczynniki a,b,c są z x? Ale nieważnie.

1) zakładamy, że środek ma współrzędne S=(a,3)
Wstawiammy do r-nia okręgu i otrzymujemy: \(\displaystyle{ (x-a)^2+(y-3)^2=9}\)
Następnie należy rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \{(x-a)^2+(y-3)^2=9\\x=\frac{3}{4}y}\)
Po podstawieniu zamiast x i przekształceniu otrzymujemy r-nie:
\(\displaystyle{ \frac{25}{16}y^2-t\(\frac{3}{2}a-6\)+a^2=0}\)
Wiadomo, że prosta i okrąg mają mieć jeden punkt wspólny, więc delta musi byc równa 0
\(\displaystyle{ \Delta=-4a^2-18a+36\\-4a^2-18a+36=0}\)
A z tym to już sobie poradzisz.

2) zakładamy, że środek ma współrzędne S(a,-3) dalej analogincznie jak w 1)