wyznacz punkty P i R spełniające warunek - zadanie maturalne

[kornelka90]

Dana jest prosta k o rownaniu \(\displaystyle{ x+y-12=0}\) oraz punkt \(\displaystyle{ M (-5,9)}\). Wyznacz na prostej k takie punkty P i R aby \(\displaystyle{ |MP|=|PR|=8}\)

[Picek]

inaczej równanie prostej:
y=-x+12
stąd widać że prosta jest malejąca ze wzrostem x
Odległość na płaszczyźnie dwóch punktów wyraża się wzorem:
\(\displaystyle{ d=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}}\), gdzie \(\displaystyle{ x_A}\) to współrzędna x punktu A itd
Korzystając z tego wzoru oraz z równania prostej:
\(\displaystyle{ 8=\sqrt{(-5-x)^2+(9+x-12)^2}}\)
\(\displaystyle{ 8=\sqrt{(-5-x)^2+(x-3)^2}}\)
\(\displaystyle{ 8=\sqrt{25+10x+x^2+x^2-6x+9}}\)
\(\displaystyle{ 8=\sqrt{2x^2+4x+34}}\)
stronami podnosimy do kwadratu i otrzymujemy kolejno:
\(\displaystyle{ 64=2x^2+4x+34}\)
\(\displaystyle{ 2x^2+4x-30=0}\)
dzielimy stronami przez 2:
\(\displaystyle{ x^2+2x-15=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=2^2-4*2*(-15)=124}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=\sqrt{124}}\)
\(\displaystyle{ {x_{1}}=\frac{-2-4\sqrt{31}}{2}=-1-2\sqrt{31}}\)
\(\displaystyle{ {x_{2}}=\frac{-2+4\sqrt{31}}{2}=-1+2\sqrt{31}}\)

dla tych punktów ze wzoru y=-x+12 wyliczamy sobie wartości y