wyznaczyc wierzcholek trojkata

[cyryl5]

podstawa trójkąta równoramiennego jest odcinek AB o końcach \(\displaystyle{ A(-1,1), B(3,3)}\) a wierzchołek C leży na paraboli o równaniu \(\displaystyle{ y^2=x+1}\) .wyznaczyć współrzędne wierzchołka C oraz pole trójkąta

[Szemek]

rysunek pomocniczy


[ Dodano: 8 Grudnia 2007, 14:19 ]
Trójkąt jest równoramienny zatem prosta zawierająca wysokość opuszczoną na podstawę jest także symetralną odcinka AB.
Wyznaczmy równanie prostej AB:
\(\displaystyle{ AB: (y_B-y_A)(x-x_A)-(x_B-x_A)(y-y_A) = 0}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}}\)
Niech punkt D będzie środkiem odcinka AB.
\(\displaystyle{ D(\frac{-1+3}{2},\frac{1+3}{2})}\)
\(\displaystyle{ D(1,2)}\)
Niech prosta \(\displaystyle{ k:y=ax+b}\) będzie prostopadła do prostej AB w punkcie D.
\(\displaystyle{ k \perp AB \iff a \frac{1}{2}=-1}\)
\(\displaystyle{ a=-2}\)
\(\displaystyle{ k: y=-2x+b}\)
\(\displaystyle{ D k}\)
\(\displaystyle{ 2=-2 1 +b}\)
\(\displaystyle{ b=4}\)
\(\displaystyle{ k:y=-2x+4}\)

Wierzchołek C jest punktem wspólnym prostej \(\displaystyle{ k}\) i wykresu paraboli.
Do rozwiązania jest układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=-2x+4 \\ y^2=x+1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=\frac{5}{4} \\ y=\frac{3}{2} \end{cases} \begin{cases} x=3 \\ y=-2 \end{cases}}\)

[ Dodano: 8 Grudnia 2007, 14:28 ]
\(\displaystyle{ C\left(\frac{5}{4},\frac{3}{2}\right) C(3,-2)}\)
Pole trójkąta ABC:
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}|d(\vec{AB},\vec{AC})| = \frac{1}{2}|\begin{vmatrix}b_1-a_1&b_2-a_2\\c_1-a_1&c_2-a_2\end{vmatrix}| = \\ =\frac{1}{2}|(b_1-a_1) (c_2-a_2)-(b_2-a_2) (c_1-a_1)|}\)

[ Dodano: 8 Grudnia 2007, 14:38 ]
\(\displaystyle{ P=\frac{5}{4} P=10}\)