Cześć! Mam do zrobienia pewne zadanko i to na dzisiaj
Znajdź zbiór punktów płaszczyzny jednakowo odległych od okręgów o r-niach:
\(\displaystyle{ x ^{2} + y^{2}=1}\) oraz \(\displaystyle{ (x-4) ^{2} + y^{2}=4}\)
Chciałbym widzieć czy wykres będzie parabolą czy hiperbolą? Będę wdzięczny jeśli komuś uda się rozwiązać to zadanie dziś do południa. Z góry wielkie dzięki!
Ten zbiór to będzie hiperbola, a dokładniej jedna z dwóch gałęzi hiperboli.
Punkt X należy do naszego zbioru, gdy jego odległość od środka pierwszego okręgu jest o 2-1=1 mniejsza, niż odległość od środka drugiego okręgu (czyli dostajemy jedną gałąź hiperboli).
Jeżeli \(\displaystyle{ d_{1}}\) to odległość do środka pierwszego okręgu, \(\displaystyle{ d_{2}}\) do drugiego, to musi zachodzić warunek \(\displaystyle{ d_{1}-r_{1}=d_{2}-r_{2}}\) r to poszczególne promienie. \(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+y^{2}-1=\sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}}-2}\) \(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+y^{2}+1=\sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}}}\) \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+2\sqrt{x^{2}+y^{2}}+1=x^{2}-8x+16+y^{2}}\) podniosłam obie strony do kwadratu dalej mam \(\displaystyle{ 2\sqrt{x^{2}+y^{2}}=15-8y}\) znów podnoszę obie strony do kwadratu i dalej prosto już.
Dokładniej: przed -1. W kolejnym wierszu kończy się przed +1.
Ostateczne równanie, które dostaniesz będzie równaniem całaj hiperboli. Zwróć uwagę, że interesuje Cię tylko jedna gałąź.
