Wyznaczyć wart. param. dla których ukł. jest l. niezaleĹ

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Krysia

Wyznaczyć wart. param. dla których ukł. jest l. niezaleĹ

Post autor: Krysia »

Wyznaczyć wszystkie wartości parametru a o ile isnieją , dla których układ wektorów x1=(1,a,1) x2=(2,a,2a) jest liniowo niezależny.
event
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 45
Rejestracja: 9 lip 2004, o 00:41

Wyznaczyć wart. param. dla których ukł. jest l. niezaleĹ

Post autor: event »

nei wiem czy to jest dobrze :
zalozmy ze x2 i x1 nie sa liniowo niezalezne, czyli mozna napisac, ze
x2 = q * x1 , dla pewnego q nalezacego do R.
stad dostajemy:
|2 |= | q |
|a |= | q*a |
|2a| = | q |
stad
2=q
a=q*a
2a=q
uklad ten jest sprzeczny (na koncu dostaje sie ze -a = 0 i a=1 i q=2) stad x1 i x2 zawsze sa liniowo niezalezne.
Yavien
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 800
Rejestracja: 21 cze 2004, o 22:20
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: W-U

Wyznaczyć wart. param. dla których ukł. jest l. niezaleĹ

Post autor: Yavien »

Definicja: wektory x1, x2, ..., xn sa liniowo niezależne, jeśli
c1*x1, c2*x2, ..., c2*xn = 0 c1 = c2 = ... = cn = 0.

Tworzymy A - macierz współczynników układu równań (niewiadomymi w równaniu będą c1, c2, ... cn) ("graficznie" to tylko przepisujemy te wektory jeden pod drugim ). Wyznacznik A (jej maksymalnej podmacierzy kwadratowej, czyli rząd A) jest maksymalny = n wektory c1, c2, ..., cn są niezależne

W tym zadaniu:
A = [[1, a, 1],[2, a, 2a]] = macierz 2 (wiersze)x3 (kolumny). Jeśli rząd macierzy jest równy 2, to wektory są niezależne, w przeciwnym przypadku są zależne.
tutaj rząd A jest równy 0 gdy następujące wyznaczniki są zerowe:
|[1, a], [2, a]| = a - 2a = -a = 0 oraz |[a, 1], [a, 2a]| = 2 a^2 - a =0, czyli kiedy
{a = 0} oraz {a = 0 lub a = 2} a = 0
Odp.: dla a= 0 wektory sa niezależne, w przeciwnym przypadku są zależne.
Ale nie jestem w 100% pewna rozwiązania...
ODPOWIEDZ