Zadanie domowe z geometrii (okrąg i prosta)

[MitS]

Witam wszystkich.
Jestem tu pierwszy raz. Trudne dla mnie zadania zmusiły mnie abym szukał pomocy już nie tylko w książkach, ale także w internecie. Sytuacja jest taka, że dostałem 20 zadań, które musiałem zrobić od 20 marca 2005 r. do 31 marca 2005 r. Trzynaście zadań już zrobiłem, ale zostało jeszcze siedem. Siedziałem nad nimi dzień w dzień i nic, dlatego was proszę o pomoc w rozwiązaniu.

Zadanie 1.
Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkt A i stycznej do obu osi układu współrzędnych, jeśli A(2, 1)

Zadanie 2.
Napisz równanie okręgu, którego środek znajduje się na prostej k, przechodzącego przez punkt A i B , jeśli k: y=-2x-2 ; A(5 ; 10), B(3 ; 12)

Zadanie 3.
Określ wzajemne położenie prostej l i okręgu o, jeśli:
a) o: (x+5)^2 + y^2 = 1; l: y=1;
b) o: x^2 + y^2 - 6x = 0; l: y=(-5/3)x - 5

Zadanie 4.
Wyznacz wspórzędne punktów wspólnych (o ile istnieją) prostej l i okręgu 0(S, r). W każdym wypadku wykonaj rysunek.
a) o: x^2+y^2-8x+12y+44=0; l: y=x-10

Zadanie 5.
Napisz równania stycznych do okręgu o i przechodzących przez punkt A, jeśli o:x^2+y^2+6x+2y+5=0 ; A(-2 ; 2)

Zadanie 6.
Napisz równanie stycznych do okręgu o i prostopadłych do prostej k:
o: (x+2)^2 + (y-3)^2=1; k: y=x;

Zadanie 7.
Określ wzajemne położenie okręgów danych równaniami:
o1: x^2+ y^2 - 8x + 15 = 0; o2: x^2+(y-3)^2=4


Ok to są te zadania, i będe naprawde wdzięczny jeżeli ktoś rozwiąże obojętnie jakie - każde jest ważne I możecie zrobić np. na kartce i zeskanować, a ten skan przesłać na e-mail: MitS79@wp.pl lub poprostu na forum

Aha jeszcze jedno. Będe wdzieczny za nie wypominanie mi, że to nie etyczne wystawiać pracę domową na forum lub coś w tym stylu - bo naprawde już nie wiem jak mam to rozwiązać.

Pozdro All

[bisz]

nie rozwiaze ci wszystkiego ale powiem jak sie zabrac do sprawy
1. postac rownania okregu znasz zapewne
\(\displaystyle{ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}\)
wspolrzedne tego punktu A musza podstawione do rownania spelnic je
podstaw....
okrag styczny do obu osi czyli do prostych y=0 x = 0
wiec oba te rownania podstawione do powyzszego powinny zwrocic rownanie kwadratowe gdzie wyroznik tzw delte sprowadz do zera i wyliczysz a b oraz r

2
3 niewiadome ,a b r
3 uklady rownan
2 pierwsze wez z podstawienia tych punktow do rownania okregu,
a trzeci wspolrzedne a i b musza sie znajdowac na tej prostej czyli podstaw to do niej i masz ukladzik 3x3 i prosto jst.

3Określ wzajemne położenie
nie rozumiem co znaczy wzajemne polozenie

4
x^2+y^2-8x+12y+44=0; l: y=x-10
podstaw y wziete z rownania prostej do y ktore wystepuje w rownaniu okregu
czyli x^2+(x-10)^2-8x+12(x-10)+44=0
i masz sobie rownanko kwadratowe i wylicz delte i pierwiastki o/


5.
x^2+y^2+6x+2y+5=0 ; A(-2 ; 2)

zwykla prosta to y=ax+b
zeby przechodzila przez ten punkt no to sila rzeczy b=2a+2
podstaw y z prostej do tego i masz
x^2+(ax+b)^2+6x+2(ax+b)+5=0
uklad z 2 parametrami
zamien go na jeden korzystajac z b=2a+2
i warunek stycznosci = sprowadz delte do zera

Zadanie 6.
Napisz równanie stycznych do okręgu o i prostopadłych do prostej k:
y=x, prostopadła to y=-x
wiec y=-x+b gdzie a = -1

o: (x+2)^2 + (y-3)^2=1

podstaw y do rownania i masz
(x+2)^2 + ((-x+b)-3)^2=1
delta ma byc 0

7 jak wczesniej

jak widzisz trudne nie jest, wszystko sprowadza sie do spelnienia przez jakies rownanie i sprowadzeania delty do zera,

[MitS]

Dzięki o coś takiego mi chodziło
Dzięki tobie mam jeszcze cały dzień na to by spokojnie przejżeć zadania

A co do wzajemnego położenia (zadanie 3) to chodzi o to by obliczyć czy okrąg ma jeden punkt z prostą l (czyli czy jest styczny), czy ma dwa punkty A i B lub czy nie ma żadnego punktu

[bisz]

3
(x+5)^2 + y^2 = 1; l: y=1
podstaw y=1 do rownania masz:

\(\displaystyle{ (x+5)^{2}+ 1 = 1}\)
potraktuj to jako rownanie kwadratowe i policz ile ma rozwiazan,
0,1, lub 2

takoz samo w nastepnym p[rzykladzie

\(\displaystyle{ x^{2} + ((frac{-5}{3})x - 5 )^{2} - 6x = 0}\)
i tak samo

mysle ze dalej ni emusze tlumaczyc

[MitS]

dzięki.

Bardzo mi pomogłeś nakierowując mnie na sposób rozwiązania.

Może kiedyś się odwdzięcze

[ Dodano: Sro Mar 30, 2005 1:22 pm ]
Wiesz mam mały problem a mianowicie do zadania 2.
Napisałeś układ równań:

3 niewiadome ,a b r
3 uklady rownan
2 pierwsze wez z podstawienia tych punktow do rownania okregu,
a trzeci wspolrzedne a i b musza sie znajdowac na tej prostej czyli podstaw to do niej i masz ukladzik 3x3 i prosto jst.

Ale jakoś mi to nie wychodzi bo mam tylko jedno równanie
(2-a)^2+(1-b)^2 = r^2

i dalej nie wiem.
Jak byś mógł mi skonstruować to co miałeś na myśli był bym wdzięczny.

[bisz]

dla odmiany skorzystajmy z innej metody, wykreslnie , ale wszystko poprę obliczeniami
mamy wspolrzedne punktow A i B, wiec odnajdzmy prosta ktora jest prostopadla do tego odcinka i przechodzi przez jego srodek
jego srodek nie latwo policzyc to S = (4,11)
a prosta przechodząca przez niego ma postać
y=x+7
wiec uklad 2 rownan daje nam
y=x+7
y=-2x-2
zatem przecinaja sie w punkcie P=(-3,4) ktory jest srodkiem naszego okręgu
szukany zostaje promień
majac ten punk i punk A z pitagorasa policzymy
\(\displaystyle{ (|-3|+|5|)^{2}+(|6|-|2|)^{2}=r^{2}}\)
r=10
czyli :
\(\displaystyle{ (x+3)^{2}+(y-4)^{2}=100}\)
koneic
takie zadanie dobrze pierw poprzec rysunkiem na podstawie niego spreparoac odpowiednie obliczenia, sprawdzajacy nie wie czym sie podpierales ale obliczenia musi widziec, musi wiedziec ze nie zdjales wszystkiego z rysnunku, no ale jest on wielce pomocniczy

[MitS]

Dzięki za wyjaśnienie mi tego teraz jużbęde miał komplet zadań


Pozdro

[ Dodano: Sro Mar 30, 2005 8:06 pm ]
Sory, że cię męcze i zadaję to pytanie ale ostatnia rzecz mnie nurtuje (napisałem że wszystko już zrobiłem, a jednak coś w pierwszym mi nie pasuje).

1. postac rownania okregu znasz zapewne

wspolrzedne tego punktu A musza podstawione do rownania spelnic je
podstaw....
okrag styczny do obu osi czyli do prostych y=0 x = 0
wiec oba te rownania podstawione do powyzszego powinny zwrocic rownanie kwadratowe gdzie wyroznik tzw delte sprowadz do zera i wyliczysz a b oraz r

A więc zrobiłem tak jak powiedziłeś (a przynajmniej tak to zrozumiałem):
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
podstawiłem A(2 ; 1)
czyli (2-a)^2 + (1 - b)^2 = r^2
a = 2
b = -1
podstawiając te dane do (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

wychodzi mi 0 = 0

i dalej nie kumam.

Dla ułatwienia dodam że wynik powinien wyjść:
(0-1)^2 + (0-1)^2 = 1 lub (0-5)^2 + (0-5)^2=25

Co mam zrobić aby do tego doprowadzić ??