Układ równań, parametr i układ wspórzędnych

[Marta99]

zad 1

Dla jakich wartości k układ równań :

\(\displaystyle{ (x+3) ^{2} + (y-2) ^{2} =2}\)
\(\displaystyle{ (y-x-3)(y+x-k) = 0}\)

ma tylko jedno rozwiązanie ??

Wprawdzie wyznaczyłam k, podstawiając x i y, a potem obliczając deltę = 0 ale wyszła mi zwykła liczba (7) a w odpowiedziach jest przedział \(\displaystyle{ k
(- , -3) U (1, + )}\)

zad 2

za to nie wiem jak się zabrać

Na płaszczyźnie, w prostokątnym układzie współrzędnych, zilustruj zbiór punktów, których współrzędne spełniają układ nierówności :
\(\displaystyle{ \sqrt{4y ^{2} - x ^{2} } qslant 2y+2}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2} qslant 9}\) [/latex]

[Ptaq666]

1. \(\displaystyle{ (x+3)^{2} + (y-2)^{2} = 2}\) to okrąg natomiast \(\displaystyle{ (y-x-3)(y+x-k)=0}\) to dwie alternatywne proste y=x+3 oraz y=k-x . Jak sobie podstawisz to ci wyjdzie, że y=x+3 jest styczna do okręgu (czyli to już jest jedno rozwiązanie) wobec tego prosta y=k-x nie może mieć żadnych pkt wspólnych z okręgiem. Do równania okręgu podstawiamy y=k-x i mamy :

\(\displaystyle{ (x+3)^{2} + (k-x - 2)^{2} - 2 = 0}\)

trzeba wszystko popodnosić do kwadratu, pogrupować itd i ci wyjdzie chyba coś takiego :

\(\displaystyle{ x^{2} + (-2k+10)x + k^{2} - 4k + 11 = 0}\)

teraz trzeba z tego wyliczyć delte i ona musi być mniejsza od zera (żeby nie było rozwiązań)

już dalej pewnie wiesz co robić, sprawdź na wszelki wypadek czy sie nie pomyliłem nigdzie

A to drugie to chyba 2 przypadki trza zrobić:

a) dla 2y+2>0 możemy pierwsze równanie podnieść obustronnie do kwadratu bez zmiany znaku większosci

i wtedy mamy :
\(\displaystyle{ 4y^{2} - x^{2} qslant 4y^{2} + 8y + 4 \\
y qslant \frac{4-x^{2}}{8}}\)

b) dla 2y+2qslant 4y^{2} + 8y + 4 \\
y qslant \frac{4-x^{2}}{8}[/latex]

drugie równanie to okrąg który łatwo narysować, pozostaje teraz tylko nanieść wszystko na układ współrzędnych i wybrać odpowiednie przedziały pamiętając o założeniach