Oblicz kąty między wektorami

anonim · Post autor: **anonim** » 24 mar 2005, o 12:39

Witam!

Mam takie zadanie:

Dany jest wektor \(\displaystyle{ \vec a=3p+2q}\), gdzie |p|=2,|q|=3 oraz kąt(p,q)=\(\displaystyle{ \frac{2\Pi}{3}}\). Oblicz kąty (a;p) oraz (a,q).

Udało mi się obliczyć długość wektora a. Wynosi ona wg mnie 6. Nie wiem tylko teraz jak policzyć te dwa kąty...

Z góry dziękuję za pomoc.

g · Post autor: g » 24 mar 2005, o 12:48

\(\displaystyle{ \cos \angle (\vec{a} , \vec{b}) = {\vec{a} \circ \vec{b} \over |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}}\)
wynika to bezposrednio z definicji iloczynu skalarnego.

Viper · Post autor: **Viper** » 24 mar 2005, o 13:14

Widzę, że muszę się zarejestrować

Podany przez Ciebie sposób w moim przypadku jest chyba bezużyteczny, gdyż nie mogę obliczyć wspolrzednych a, co jest wymagane do wzoru.

Udało mi się obliczyć długość wekotra |a| w taki sposób:

|a|=sqrt((3p+2q)^2)=sqrt(9p^2+4q^2+12p*q)=sqrt(9|p|^2+4|q|^2+12*|p|*|q|*(-1/2))=sqrt(36)=6

I teraz nie wiem co dalej. Zadaie wydaje mi się dość proste, więc nie wiem czemu nie mam pomysłu-wszystko pewnie przez tą wiosnę .

P.S Jak tutaj na forum wstawiać symbole matematyczne? Chciałem przekopiować z Math Type, ale nie idzie.

g · Post autor: g » 24 mar 2005, o 13:24

Viper pisze:Podany przez Ciebie sposób w moim przypadku jest chyba bezużyteczny, gdyż nie mogę obliczyć wspolrzednych a, co jest wymagane do wzoru.

wystarczy umiejetnie obrac uklad wspolrzednych i spokojnie wyznaczysz wspolrzedne wektorow p i q.

tu sie uzywa texa. odwiedz "co kazdy user wiedziec powienien".

Viper · Post autor: **Viper** » 24 mar 2005, o 13:29

OK. Odwiedzę, ale nie mogę sobie poradzić. Skąd mam wiedzieć jakie współrzędne mają te wktory, skoro znam TYLKO ich długości?

g · Post autor: g » 24 mar 2005, o 13:42

serio? ja tam widze jeszcze kat podany. masz ich polozenie wzgledem siebie. p i q sa wyznaczone jednoznacznie. wystarczy to tylko umiejetnie wstawic w uklad wspolrzednych i pobawic sie troche funkcjami trygonometrycznymi. a i rysunek sie przyda.

Viper · Post autor: **Viper** » 24 mar 2005, o 13:45

Masz rację co do p i q, ale a nie jest określony jednoznacznie. Prawda? Mam tylko jego długość. Jak więc mam wyznaczyć kąt między a i q oraz a i p?

g · Post autor: g » 24 mar 2005, o 13:52

Viper pisze:Masz rację co do p i q, ale a nie jest określony jednoznacznie.

jak to nie? a kombinacja liniowa dwoch wektorow to ile wartosci przyjmuje? dwie?
zrob jak mowie - obierz uklad wspolrzednych, wyznacz w nim p i q, wyznacz algebraicznie a i potem skorzystaj ze wzoru ktory podalem.

Viper · Post autor: **Viper** » 24 mar 2005, o 14:06

Chętniebym zrobił jak mówisz, ale nie mogę obliczyć kombinacji bo:

a=3p+2q

a ja nie mam p i qtylko |p| i |q|...

g · Post autor: g » 24 mar 2005, o 14:14

ale przeciez ci tlumacze ze masz jeszcze kat miedzy nimi. jak sobie narysujesz te dwa wektory zaczepione w tym samym punkcie, dolozysz uklad wspolrzednych tak, zeby ci bylo wygodnie i potem pobawisz sie funkcjami trygonometrycznymi to dostaniesz wspolrzedne tych wektorow w ukladzie wspolrzednych, ktory obrales.

wez sobie dla przykladu taki uklad, w ktorym p zawiera sie w osi OX a O jest punktem zaczepienia wektorow.

Viper · Post autor: **Viper** » 24 mar 2005, o 14:27

Zrobiłem jak mówisz, ale nic z tegon ie wyszło. Dlaczego to nie wychodzi?

W ukłazie XOY narysowałem wektor |q|=3 cm długości i |p|=2 cm długości. Kąt między nimi to 120 stopni (2/3 pi). Odczytałem współrzędne:

p=[4,0]
q=[-3,5]

a więc a powinien mieć współrzędne: [3*4+3*-3; 2*0+2*5]=[3;10]. Teraz ten wektor ma długość na pwno nie 6 cm jak wyszło z mojego równania.

No i co Ty na to? Ja mam już dość...

g · Post autor: g » 24 mar 2005, o 18:14

Viper pisze:Odczytałem współrzędne:

p=[4,0]
q=[-3,5]

ale ty je masz policzyc a nie odczytac. na oko to chlop w szpitalu umarl. wiesz co to jest sinus, cosinus i tangens? no to skorzystaj z tego, MASZ DANY KAT w koncu... nie wyjda liczby calkowite tylko jakies pierwiastki z trzech razy costam. wez licz, nie mierz, nie jestes w podstawowce zeby linijke przykladac...

W_Zygmunt · Post autor: **W_Zygmunt** » 25 mar 2005, o 10:40

W tym przpadku można to zrobić prosto.
\(\displaystyle{ \vec{u}\,=\,3*\vec{p}}\),
\(\displaystyle{ \vec{w}\,=\,2*\vec{q}}\),
\(\displaystyle{ |\vec{u}|\,=\,3*2\,=\,6}\),
\(\displaystyle{ |\vec{w}|\,=\,2*3\,=\,6}\),
ale
\(\displaystyle{ \vec{a}\,=\,\vec{u}+\vec{w}}\)
zatem wektor \(\displaystyle{ \vec{a}}\) leży na dwusiecznej kata między wektorami
\(\displaystyle{ \vec{u}\, i \,\vec{w}}\) czyli
\(\displaystyle{ \angle{\vec{a},\vec{u}} =\angle{\vec{a},\vec{w}}\, =\,\frac{2\Pi}{6}}\)
A wektory \(\displaystyle{ \vec{u} \,i \,\vec{p}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{w}\, i\, \vec{q}}\) są równoległe.

g · Post autor: g » 25 mar 2005, o 12:03

a faktycznie. jak zwykle nie patrze na dane tylko rozwazam ogolny przypadek :J

W_Zygmunt · Post autor: **W_Zygmunt** » 25 mar 2005, o 12:28

W ogólnym przypadku byłoby tak:

\(\displaystyle{ \vec{a} o \vec{p} = (3*\vec{p}+2*\vec{q}) o \vec{p}= 3*(\vec{p})^2 +2*\vec{p}o\vec{q}=3*(|\vec{p}|)^2 +2*|\vec{p}|*|\vec{q}|*\cos\angle{\vec{p},\vec{q}} = 3*2^2+2*2*3*(-0.5)=6}\)

\(\displaystyle{ \cos\angle{\vec{a},\vec{p}} = \frac{\vec{a} o \vec{p}}{|\vec{a}| *|\vec{p}|}=\frac{6}{6*2}=0.5}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{\pi }{3}}\)