Na płaszczyźnie dany jest zbiór A={(x,y): xeR i yeR i \(\displaystyle{ x^{2}-y^{2} qslant 0}\)}. Znajdź punkt P należący do zbioru A, który jest najbliżej punktu K(1,2).
Pierwszy raz spotykam sie z zadaniem tego typu. Co tu trzeba zrobić?
Odległość od punktu należącego do zbioru
Odległość od punktu należącego do zbioru
Najpierw możesz to narysować, prawda? Wystarczy, że przekształcisz wyrażenie do postaci \(\displaystyle{ (x-y)(x+y) \ge 0}\) Widać już, że tym punktem będzie \(\displaystyle{ (1,5;1,5)}\), ale pytanie jak temu dowieść? Wypadałoby napisać, że odległość tego punktu od zbioru to w rzeczywistości odległość punktu od prostej \(\displaystyle{ y=x}\), która jest jednym z brzegów zbioru. No więc \(\displaystyle{ d= \sqrt{(1-x) ^{2}+(2-y)^{2} }}\), ale doszliśmy już do wniosku, że ten punkt leży na prostej \(\displaystyle{ y=x}\) więc jego współrzędne \(\displaystyle{ P=(x;y)=(x,x)}\). dlatego mamy \(\displaystyle{ d(x)= \sqrt{(1-x) ^{2}+(2-x)^{2} }}\) potraktujmy tą odległość jako funkcję i policzmy dla jakiego x przyjmuje najmniejszą wartość. W tym celu policzymy pochodną \(\displaystyle{ d'(x)= (\sqrt{5 -6x +2x^{2}})'= \frac{6-4x}{\sqrt{5 -6x +2x^{2}}}}\) Skoro mamy już pochodną to teraz zbadajmy znak pochodnej. Dla \(\displaystyle{ x \le 1,5}\) \(\displaystyle{ d'(x) \le 0}\) a dla \(\displaystyle{ x \ge 1,5}\) \(\displaystyle{ d'(x) \ge 0}\) Z tego wynika, że \(\displaystyle{ d(x)}\) przyjmuje najmniejszą wartość dla \(\displaystyle{ x=1,5}\), stąd \(\displaystyle{ y=1,5}\) i punkt P ma współrzędne \(\displaystyle{ P=(1,5;1,5)}\).