Równania płaszczyzny

invx · Post autor: **invx** » 29 paź 2007, o 23:25

1.
napisz rownanie plaszczyzny przechodzacej przez prosta:

\(\displaystyle{ \begin{cases}
3x+y-2=0\\
x-z+1=0
\end{cases}}\)

i prostopadla do plaszczyzny:

\(\displaystyle{ 2x+y+z+1=0}\)

2.
przez punkt P(2,-5,3) poprowadź prosta prostopadla do prostej:
\(\displaystyle{ \frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-5}{1}}\)

- prosze o jakies wskazowki

andkom · Post autor: **andkom** » 30 paź 2007, o 10:13

1.
Do naszej prostej (a więc i szukanej płaszczyzny) należą m. in. punkty (0,2,1) oraz (1,-1,2)
Zatem jeśli równanie szukanej płaszczyzny to Ax+Bx+Cz=D, to A,B,C,D muszą spełniać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases}
2B+C=D\\
A-B+2C=D\\
2A+B+C=0
\end{cases}}\)
Trzecie równanie wzięło się z warunku o prostopadłości.
Równania mamy trzy, a niewiadome cztery, ale to dlatego, że równanie płaszczyzny jest wyznaczone z dokładnością do niezerowej stałej multiplikatywnej, więc wystarczy nam znaleźć jakiekolwiek niezerowe rozwiązanie naszego układu równań, na przykład A=-4, B=1, C=7, D=9
(wtedy szukane równanie płaszczyzny to -4x+y+7z=9).

invx · Post autor: **invx** » 30 paź 2007, o 14:32

a jak szukamy punktow nalezacyhch do plaszczyzny ??
dla zmiennych x i y - podstawialo sie za x i wyliczalo y.
A tutaj ? trzeba podstawic ot tak sobie za x i y - i wyliczyc z ?

andkom · Post autor: **andkom** » 30 paź 2007, o 21:13

Na przykład tak. Może się jednak okazać, że z się nie wyliczy (gdy płaszczyzna jest równoległa do osi z) i wtedy trzeba podstawić cokolwiek za x i z i wyliczyć y, a jeśli i to nie da skutku (bo płaszczyzna jest równoległa i do ozi z i do osi y, to podstawiamy cokolwiek za y i z.

invx · Post autor: **invx** » 31 paź 2007, o 13:16

a równanie szukanej prostej to nie ma wygladac tak:

Ax + Bx + Cz + D = 0

a wiec

Ax + Bx + Cz = -D

i skad taki warunek prostopadlosci ?
- plaszczyzny sa prostopadle gdy iloczyn skalarny "ich" wektorów = 0

andkom · Post autor: **andkom** » 31 paź 2007, o 20:07

invx pisze:a równanie szukanej prostej to nie ma wygladac tak:

Ax + Bx + Cz + D = 0

a wiec

Ax + Bx + Cz = -D

To już kwestia gustu. Ja wolę mieć wyraz wolny z prawej strony, ale można go sobie przenieść na lewą i zamiast -4x+y+7z=9 napisać -4x+y+7z-9=0

invx pisze:i skad taki warunek prostopadlosci ?
- plaszczyzny sa prostopadle gdy iloczyn skalarny "ich" wektorów = 0

Dokładnie tak i to właśnie wykorzystałem. Trzecie równanie mówi, że iloczyn skalarny wektorów (A,B,C) i (2,1,1) wynosi zero.

majkel_mech · Post autor: **majkel_mech** » 2 lis 2007, o 16:34

Ja mam mniej wiecej z tego samego gatunku z tym, że płaszczyzna ma zwierać proste:

\(\displaystyle{ l_{1}}\): x=y+1=3-2z

\(\displaystyle{ l_{2}}\): \(\displaystyle{ \frac{x+1}{2}}\)=3y=\(\displaystyle{ \frac{z-1}{-1}}\)

invx · Post autor: **invx** » 3 lis 2007, o 16:58

szukasz 2 punktów nalezacych do prostej l1 i dwuch nalezacych do l2
np:

A=(1,0,1)
B=(5,4,-1)

A*=(5,1,-2)
B*=(11,2,-5)

robisz wektor AB=2[2,2,-1] i A*B*=[6,1,-3]

masz juz dwa wektory rownolegle do plaszczyzny masz punkt przez ktory ma przechodzic plaszczyzna (np. A), no i podstawiasz pod rownanie i masz

x=1+2s+6t
y=2s+t
z=1-3-3t

majkel_mech · Post autor: **majkel_mech** » 4 lis 2007, o 11:51

a co to oznacz w równaniu s i t ? : >

invx · Post autor: **invx** » 4 lis 2007, o 21:09

s i t to sa paramatry - bo to rownanie jest przedstawione w postaci zwanej "parametryczna"

mozesz je przeksztalcic na rownanie postaci ogolnej - wyliczajac z jednego rownania s - i podstawiajac do innych - a potem majac dwa i parametr t - wyliczas t i podstawiasz, grupujesz porzadkujesz i masz rownanie postaci ogolnej.