Strona 1 z 1
objetosc czworoscianu w 3D
: 27 paź 2007, o 22:39
autor: invx
dany jest czworoscian o wierzchołkach
A (1,2,2)
B (0,3,1)
C (1,1,1)
D (4,2,5)
obliczyc jego objetosc.
zrobilem tak:
- narysowalem
- policzylem dl wektorow tworzacych podstawe
- wyszlo ze podstawa to trojkat rownoramienny √2 √2 i √3 - policzylem jego h z pitagorasa - potem pole - wyszlo √5/2
- potem rownanie plaszczyzny zawierajacej w sobie podstawe (by miec wspolczynniki do policzenia odl. wierzcholka od plaszczyzny) - policzylem odleglosc wierzcholka od podstawy - wyszlo: √6/3
- no i policzylem objetosc - wyszlo: √30/18
pytanie - czy mozna bylo prosciej - i czy sie nie pomylilem
objetosc czworoscianu w 3D
: 27 paź 2007, o 22:53
autor: andkom
Można było obliczyć współrzędne wektorów
\(\displaystyle{ \vec{AB}=(-1,1,-1)\\
\vec{AC}=(0,-1,-1)\\
\vec{AD}=(3,0,3)}\)
i policzyć jedną szóstą modułu wyznacznika macierzy, której wierszami są te właśnie wektory
\(\displaystyle{ V=\frac16\left|\det\begin{pmatrix}-1&1&-1\\0&-1&-1\\3&0&3\end{pmatrix}\right|
=\frac16|3-3+0-3-0-0|=\frac12}\)
objetosc czworoscianu w 3D
: 27 paź 2007, o 23:05
autor: invx
no to przyszalalem
iloczyn mieszany - myslalem o tym ale zgubilo mnie ze czworoscian to jest ...
jak doszedles zeby 1/6 wziac ?
objetosc czworoscianu w 3D
: 27 paź 2007, o 23:07
autor: andkom
Bez 1/6 mielibyśmy objętość równoległościanu rozpiętego przez wektory (a nie czworościanu).
Twoja metoda jest o tyle dobra, że nie wymaga nic tak skomplikowanego, jak wyznaczniki itd.
objetosc czworoscianu w 3D
: 27 paź 2007, o 23:15
autor: invx
no wiem ze bez 1/6 to by byl rownolegloscian
ale jak doszedles ze to ma byc 1/6 - a nie np. 1/3 ?
bo ostroslupa V=1/3*Pp*h
objetosc czworoscianu w 3D
: 27 paź 2007, o 23:28
autor: andkom
Rozważ wektory (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0) i rozpięte przez te wektory czworościan i równoległościan (sześcian). Okaże się, że ta brakująca 1/2 to 1/2 z pola podstawy czworościanu (która to podstawa jest trójkątem).
objetosc czworoscianu w 3D
: 28 paź 2007, o 19:48
autor: invx
mam dwa wektory - mnoze je wektorowo - dostaje np.:
3i, 2j, 3K - czyli wektor u=[3,2,3]
ale iloczyn wektorowy ma mi dac pole rownolegloboku - to jak z [3,2,3] przejsc do pola ?
objetosc czworoscianu w 3D
: 28 paź 2007, o 19:52
autor: andkom
Trzeba policzyć normę tego wektora (iloczynu wektorowego), np. \(\displaystyle{ \|(3,2,3)\|=\sqrt{3^2+2^2+3^2}}\)
objetosc czworoscianu w 3D
: 28 paź 2007, o 20:26
autor: invx
dzieki
Teraz mam napisać równanie płaszczyzny rownoległej do osi Ox i przechodzacej przez punkty:
- A(2,4,5)
- B(0,1,3)
wymyslilem taki sposob:
utwoze wektor AB[-2,-3,-2] pomnoze go wektorowo przez wersor osi Ox=[1,0,0] i dostane wektor prostopadly do szukanej plaszczyzny - czyli v=[0,-2,3]
no i ostatecznie rownanie plaszczyzny:
0x-2y+3z+7=0
dobrze zrobilem ? mozna bylo inaczej ?
objetosc czworoscianu w 3D
: 28 paź 2007, o 22:28
autor: andkom
Prawie dobrze. Powinno być
0x-2y+3z-7=0 (lub 0x-2y+3z=7)
Rozwiązanie zręczne i krótkie. Inaczej zapewne można było, ale nie sądzę, by inaczej było krócej.