Prostą o równaniu 3x - 2y + 7 = 0 przekształcono o jednokładność o środku S(2,0) oraz skali k=-2. Wyznacz równanie tej prostej w danym przekształceniu. Zadanie rozwiązać trzema sposobami.
Wybieram dwa punkty należące do prostej, wyznaczam ich obrazy obliczam równanie prostej zawierającej te dwa punkty. Ale jak to zrobić 2 innymi sposobami ??
Wyznacz równanie obrazu prostej w danym przekształceniu.
-
W_Zygmunt
- Użytkownik
- Posty: 545
- Rejestracja: 1 wrz 2004, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 53 razy
Wyznacz równanie obrazu prostej w danym przekształceniu.
Ponieważ poprzedni temat z jednokładnością znikł, zamieszczam
wyprowadzenie wzorów na obraz punktów w jednokładności:
Jeśli A' jest obrazem punktu A w jednokładności \(\displaystyle{ J_S(k)}\) to
\(\displaystyle{ \vec{SA'}= k*\vec{SA}}\) czyli
\(\displaystyle{ (x_{A'}-x_S,y_{A'}-y_S) = k*(x_{A}-x_S,y_{A}-y_S)}\)
\(\displaystyle{ (x_{A'}-x_S,y_{A'}-y_S) = (k*(x_{A}-x_S),k*(y_{A}-y_S))}\)
\(\displaystyle{ x_{A'}-x_S = k*(x_{A}-x_S)}\)
\(\displaystyle{ y_{A'}-y_S = k*(y_{A}-y_S)}\)
\(\displaystyle{ A'=(x_{A'},y_{A'})=(k*(x_{A}-x_S)+x_S,k*(y_{A}-y_S)+y_S)}\)
Innym sposobem jest przekształcenie wzorów na jednokładność,
tak by wyrazić współrzędne punktu A w zależności od A'.
Nasza jednokładność ma postać
\(\displaystyle{ x_1=-2*(x-3)}\)
\(\displaystyle{ y_1=-2*y}\)
Wyliczamy x i y.
\(\displaystyle{ x=3-\frac{x_1}{2}}\)
\(\displaystyle{ y=-\frac{y_1}{2}}\)
i podstawiamy do równania prostej \(\displaystyle{ 3*x-2*y+7=0}\)
\(\displaystyle{ 3*(3-\frac{x_1}{2})-2*(-\frac{y_1}{2})+7=0}\)
i otrzymujemy
\(\displaystyle{ 3*x_1-2*y_1-32=0}\)
Trzeci sposób to przekszatałcić do postaci kierunkowej
\(\displaystyle{ y=\frac{3}{2}*x+\frac{7}{2}}\)
Prosta jednokładna jest równoległa do naszej prostej, więc ma ten
sam wspólczynnik kierunkowy. Wystaczy zatem znależć obraz jednego punktu i napisać równanie.
Mnie wyszło
\(\displaystyle{ y=\frac{3}{2}*x-16}\)
wyprowadzenie wzorów na obraz punktów w jednokładności:
Jeśli A' jest obrazem punktu A w jednokładności \(\displaystyle{ J_S(k)}\) to
\(\displaystyle{ \vec{SA'}= k*\vec{SA}}\) czyli
\(\displaystyle{ (x_{A'}-x_S,y_{A'}-y_S) = k*(x_{A}-x_S,y_{A}-y_S)}\)
\(\displaystyle{ (x_{A'}-x_S,y_{A'}-y_S) = (k*(x_{A}-x_S),k*(y_{A}-y_S))}\)
\(\displaystyle{ x_{A'}-x_S = k*(x_{A}-x_S)}\)
\(\displaystyle{ y_{A'}-y_S = k*(y_{A}-y_S)}\)
\(\displaystyle{ A'=(x_{A'},y_{A'})=(k*(x_{A}-x_S)+x_S,k*(y_{A}-y_S)+y_S)}\)
Innym sposobem jest przekształcenie wzorów na jednokładność,
tak by wyrazić współrzędne punktu A w zależności od A'.
Nasza jednokładność ma postać
\(\displaystyle{ x_1=-2*(x-3)}\)
\(\displaystyle{ y_1=-2*y}\)
Wyliczamy x i y.
\(\displaystyle{ x=3-\frac{x_1}{2}}\)
\(\displaystyle{ y=-\frac{y_1}{2}}\)
i podstawiamy do równania prostej \(\displaystyle{ 3*x-2*y+7=0}\)
\(\displaystyle{ 3*(3-\frac{x_1}{2})-2*(-\frac{y_1}{2})+7=0}\)
i otrzymujemy
\(\displaystyle{ 3*x_1-2*y_1-32=0}\)
Trzeci sposób to przekszatałcić do postaci kierunkowej
\(\displaystyle{ y=\frac{3}{2}*x+\frac{7}{2}}\)
Prosta jednokładna jest równoległa do naszej prostej, więc ma ten
sam wspólczynnik kierunkowy. Wystaczy zatem znależć obraz jednego punktu i napisać równanie.
Mnie wyszło
\(\displaystyle{ y=\frac{3}{2}*x-16}\)