Prosta na płaszczyźnie

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
MatMatMatMatMat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 29 kwie 2022, o 16:39
Płeć: Mężczyzna
wiek: 28

Prosta na płaszczyźnie

Post autor: MatMatMatMatMat »

Czesc wszystkim. Mam przed soba zadanie musze je wykonac korzystajac z definicji prostej na plaszczyznie nie korzystajac z postaci kierunkowej.
Musze napisac rownanie prostej prostopadlej do prostej \(\displaystyle{ l:3x-2y+5=0}\) i przechodzacej przez punkt \(\displaystyle{ (3,2)}\).
Czy jesli przypisze sobie jakis punkt do prostej \(\displaystyle{ L}\) to moge z niego poprowadzic wektor, ktory bedzie wektorem rownoleglej tej prostej?
Czy należaloby to zrobic innym sposobem?
Ostatnio zmieniony 29 kwie 2022, o 17:38 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a, zapoznaj się z instrukcją https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951 .
Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 668
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 206 razy

Re: Prosta na płaszczyźnie

Post autor: JHN »

Ja bym wykorzystał fakt:
Proste \(k: Ax+By+C_k=0\) i \(l: Bx-Ay+C_l=0\) są prostopadłe.
Pozdrawiam
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34130
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Prosta na płaszczyźnie

Post autor: Jan Kraszewski »

Zastrzeżenie, by nie korzystać z postaci kierunkowej jest dość nieprecyzyjne - jak dla mnie to, co zaproponował JHN jest tym, czego chciano w tym zadaniu uniknąć (ale to moje wrażenie). Ale tak jest zazwyczaj wtedy, kiedy układający zadanie ma o nim pewne wyobrażenie, które potem okazuje się rozmijać z wyobrażeniem rozwiązujących...

JK
Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 668
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 206 razy

Re: Prosta na płaszczyźnie

Post autor: JHN »

Jan Kraszewski pisze: 29 kwie 2022, o 23:29 ... jak dla mnie to, co zaproponował JHN jest tym, czego chciano w tym zadaniu uniknąć ...
Podany przez mnie fakt wynika z:
Wektor \([A,B]\) normalny do prostej \(k:Ax+By+C_k=0\) jest wektorem rozpinającym prostą \(l\) prostopadłą do niej, czyli \(l:\begin{cases}x=x_0+t\cdot A\\y=y_0+t\cdot B\end{cases}\wedge t\in\mathbb{R}\).
Co nie ma związku z postacią kierunkową.

Pozdrawiam
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34130
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Prosta na płaszczyźnie

Post autor: Jan Kraszewski »

JHN pisze: 30 kwie 2022, o 09:10Co nie ma związku z postacią kierunkową.
To, że można go bezpośrednio otrzymać z faktu o zależności współczynników kierunkowych prostych prostopadłych (w postaci kierunkowej). Ty oczywiście patrzysz na niego inaczej, ale to jest to, co napisałem powyżej: te same fakty można różnie interpretować. Poza tym - nawet jeśli nie pójdziemy tym tropem - nie jest jasne, czy rozwiązanie to zostanie uznane za "korzystające z definicji prostej".

Domyślam się, że układający zadanie ma na myśli konkretny sposób rozwiązania i chce - nakładając ograniczenia - osiągnąć ten cel. I nie sądzę, by Twój sposób był tym właśnie sposobem - co oczywiście w żaden sposób nie umniejsza wartości Twojego rozwiązania, bo to problem układającego. Natomiast w takich sytuacjach (niestety) układający czasami stara się "wymusić" rozwiązanie zadania oczekiwanym przez siebie sposobem i wtedy mógłby próbować odrzucić Twoje rozwiązanie "argumentując" tak, jak ja powyżej.

Pytanie do MatMatMatMatMat - jaką mesz definicję prostej, na podstawie której miałbyś rozwiązać to zadanie?

JK
MatMatMatMatMat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 29 kwie 2022, o 16:39
Płeć: Mężczyzna
wiek: 28

Re: Prosta na płaszczyźnie

Post autor: MatMatMatMatMat »

Takie same mam wątpliwości.
Definicja nie została podana.
W domyśle chodzi o wykorzystanie implementacji wektorów i użycia rozwiazan typowych dla poznanych z płaszczyzn i prostych .
Przynajmniej ja tak to rozumiem . Macie jakiś pomysł na rozwiązanie tego zadania ?
  • Dana jest prosta l na płaszczyźnie o równaniu
    3x-2y+5=0\(\displaystyle{ }\)
  • napisz równanie prostej prostopadłej do prostej l: i przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ (3,2)}\)
Dodano po 25 minutach 20 sekundach:
Mój sposób rozwiązania, prawdopodobnie zły :) :
\(\displaystyle{ x= \frac{2}{3}y - \frac{5}{3}\\\\
y=0 \\
x= - \frac{5}{3} \\
\vec{PlPk} = \left[ \frac{14}{3} , 2 \right]\\T
C= -18}\)


Ps. Musicie chyba poprawić stringa od elementów matematycznych

Odp : \(\displaystyle{ \frac{14}{3}y + 2x -18}\)
Ostatnio zmieniony 30 kwie 2022, o 22:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Taguj teskt matematyczny.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7911
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Prosta na płaszczyźnie

Post autor: janusz47 »

Jest to typowe zadanie z arkusza matury poziomu podstawowego, które uczniowie rozwiązują w następujący sposób.

Piszemy równanie prostej w postaci kierunkowej:

\(\displaystyle{ y = \frac{3}{2}x + \frac{5}{2} }\)

Zmieniamy wsoółczynik kierunkowy prostej na wspólczynnik kierunkowy prostej prostopadłej \(\displaystyle{ -\frac{1}{a} = -\frac{2}{3}. }\)

Piszemy równanie kierunkowe prostej prostopadłej w postaci:

\(\displaystyle{ y = -\frac{2}{3}x + b }\)

Wspólczynnik \(\displaystyle{ b }\) obliczamy z warunku, że prosta prostopadła przechodzi przez punkt o współrzędnych \(\displaystyle{ (3,2) }\)

\(\displaystyle{ 2 = -\frac{2}{3}\cdot 3 + b. }\)

Stąd \(\displaystyle{ b = 4. }\)

Równanie prostej prostopadłej do danej prostej:

\(\displaystyle{ l_{\perp} \ \ y = -\frac{2}{3}x + 4, }\)

lub w postaci ogólnej \(\displaystyle{ 2x +3y -12 = 0. }\)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34130
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Prosta na płaszczyźnie

Post autor: Jan Kraszewski »

janusz47 pisze: 30 kwie 2022, o 18:51 Jest to typowe zadanie z arkusza matury poziomu podstawowego, które uczniowie rozwiązują w następujący sposób.

Piszemy równanie prostej w postaci kierunkowej:
Ale przeczytałeś, że postać kierunkowa ma być nieużywana?

JK
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7911
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Prosta na płaszczyźnie

Post autor: janusz47 »

Jeżeli prosta kierunkowa ma być nieużywana, to w pierwotnej postaci ogólnej prostej

\(\displaystyle{ l: 3x-2y+5=0 }\)

uczniowie robią taki trick- zmieniają miejscami współczynniki przy zmiennych \(\displaystyle{ x, y }\)

\(\displaystyle{ 2x -3y }\) i jeden ze współczynników \(\displaystyle{ 2 }\) albo \(\displaystyle{ -3 }\) zmieniają na przeciwny \(\displaystyle{ 2x + 3y. }\)

Piszą równanie prostej w potaci ogólnej:

\(\displaystyle{ 2x +3y +C = 0. }\)

Wartość wyrazu wolnego \(\displaystyle{ C }\) uzyskują z warunku przechodzenia prostej prostopadłej przez punkt o współrzędnych \(\displaystyle{ (3, 2) }\)

\(\displaystyle{ 2\cdot 3 + 3\cdot 2 + C = 0. }\)

Stąd

\(\displaystyle{ C = -12. }\)

Otrzymują równanie prostej prostopadłej w postaci ogólnej:

\(\displaystyle{ l_{\perp}: 2x +3y -12 = 0. }\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22175
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Prosta na płaszczyźnie

Post autor: a4karo »

MatMatMatMatMat pisze: 29 kwie 2022, o 16:45 Czesc wszystkim. Mam przed soba zadanie musze je wykonac korzystajac z definicji prostej na plaszczyznie nie korzystajac z postaci kierunkowej.
Musze napisac rownanie prostej prostopadlej do prostej \(\displaystyle{ l:3x-2y+5=0}\) i przechodzacej przez punkt \(\displaystyle{ (3,2)}\).
Czy jesli przypisze sobie jakis punkt do prostej \(\displaystyle{ L}\) to moge z niego poprowadzic wektor, ktory bedzie wektorem rownoleglej tej prostej?
Czy należaloby to zrobic innym sposobem?
Byle jaki punkt nie będzie dobry. Musisz wybrać punkt na prostej, który leży najbliżej danego punktu. A to daje wskazówkę jak podejść do rozwiązania.
MatMatMatMatMat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 29 kwie 2022, o 16:39
Płeć: Mężczyzna
wiek: 28

Re: Prosta na płaszczyźnie

Post autor: MatMatMatMatMat »

a4karo pisze: 1 maja 2022, o 10:28
MatMatMatMatMat pisze: 29 kwie 2022, o 16:45 Czesc wszystkim. Mam przed soba zadanie musze je wykonac korzystajac z definicji prostej na plaszczyznie nie korzystajac z postaci kierunkowej.
Musze napisac rownanie prostej prostopadlej do prostej \(\displaystyle{ l:3x-2y+5=0}\) i przechodzacej przez punkt \(\displaystyle{ (3,2)}\).
Czy jesli przypisze sobie jakis punkt do prostej \(\displaystyle{ L}\) to moge z niego poprowadzic wektor, ktory bedzie wektorem rownoleglej tej prostej?
Czy należaloby to zrobic innym sposobem?
Byle jaki punkt nie będzie dobry. Musisz wybrać punkt na prostej, który leży najbliżej danego punktu. A to daje wskazówkę jak podejść do rozwiązania.
Wiem. Nie ma podstawy żeby zakładać że leży w linii prostopadłej od punktu na prostej l. Chyba trzeba to będzie zrobić po szkolnemu i niech spada na bambus

Punkt przybliżony czyli zgadzający się z x lub y ? No ale chyba nie można do końca zakładać że prosta przez niego przechodzi. Równie dobrze na układzie wszystko może leżeć pod skosem
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22175
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Prosta na płaszczyźnie

Post autor: a4karo »

Mam wrażenie, że nie za bardzo wiesz o czym piszesz. Ani `x` ani `y` nie są punktami
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7911
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Prosta na płaszczyźnie

Post autor: janusz47 »

Jeśli co najmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ a, b }\) jest różna od zera, to zbiór wektorów \(\displaystyle{ [x, y] }\) prostopadłych do wektora \(\displaystyle{

[a,b] }\)
opisany jest równaniem \(\displaystyle{ ax + by = 0. }\)

Mówiąc wektor \(\displaystyle{ [x,y] }\) mamy na myśli wektor zaczynający się w punkcie \(\displaystyle{ O = (0,0) }\), którego końcem jest punkt (x,y).

Końce tych wektorów tworzą prostą prostopadłą do wektora \(\displaystyle{ [a, b]. }\)

Wobec tego jeśli \(\displaystyle{ [a, b] \neq [0,0], }\) to równanie \(\displaystyle{ ax + by + c = 0 }\) opisuje prostą prostopadlą do wektora \(\displaystyle{ [a,b]. }\)

Prosta ta jest równoległa do prostej o równaniu \(\displaystyle{ ax + by = 0. }\)

To podejście do równania ogólnego prostej i jego interpretacji geometrycznej pochodzi z wykładów dla chemików Pana dr Michała Krycha:

Elementy geometrii analitycznej i algebry liniowej na Wydziale MIiM UW.

Wróćmy do przykładu.

Równanie prostej \(\displaystyle{ l: 3x -2y + 5 = 0 }\) opisuje więc prostą prostopadłą do wektora \(\displaystyle{ [3, -2]. }\)

Jeśli mamy napisać równanie prostej prostopadłej do prostej \(\displaystyle{ l }\) to musimy znaleźć dowolny wektor prostopadły do wektora

\(\displaystyle{ [3,-2]. }\)

W tym celu korzystamy z iloczynu skalarnego wektorów, który dla wektorów prostopadłych musi być równy zeru.

Jeśli oznaczymy przez \(\displaystyle{ a, b }\) współrzędne wektora prostopadłego, to z definicji iloczynu skalarnego wektorów musi zachodzić

równość \(\displaystyle{ 3\cdot a -2\cdot b = 0. }\)

Aby znaleźć wartości \(\displaystyle{ a, b }\) najłatwiej zamieniamy miejscami liczby \(\displaystyle{ 3, -2 }\) i zmieniamy jedną z tych liczb na
przeciwną.

Otrzymujemy \(\displaystyle{ 2, 3.}\)

Sprawdzamy czy iloczyn skalarny wektorów jest równy zeru: \(\displaystyle{ [3,-2] \cdot [2, 3] = 3\cdot 2 - 2\cdot 3 = 0. }\)

Wektor \(\displaystyle{ [2, 3] }\) jest wektorem prostopadłym do wektora \(\displaystyle{ [3, -2]. }\)

Piszemy równanie prostej prostopadłej

\(\displaystyle{ l_{\perp}: 2x +3y + C = 0. }\)

Wartość \(\displaystyle{ C }\) obliczamy z warunku przechodzenia prostej przez dany punkt \(\displaystyle{ (3, 2),}\)

\(\displaystyle{ C = -12. }\)

Równanie prostej prostopadłej i przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ (3, 2) }\)

\(\displaystyle{ l_{\perp}: 2x +3y -12 = 0. }\)
ODPOWIEDZ