Prosta na płaszczyźnie
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 29 kwie 2022, o 16:39
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 28
Prosta na płaszczyźnie
Czesc wszystkim. Mam przed soba zadanie musze je wykonac korzystajac z definicji prostej na plaszczyznie nie korzystajac z postaci kierunkowej.
Musze napisac rownanie prostej prostopadlej do prostej \(\displaystyle{ l:3x-2y+5=0}\) i przechodzacej przez punkt \(\displaystyle{ (3,2)}\).
Czy jesli przypisze sobie jakis punkt do prostej \(\displaystyle{ L}\) to moge z niego poprowadzic wektor, ktory bedzie wektorem rownoleglej tej prostej?
Czy należaloby to zrobic innym sposobem?
Musze napisac rownanie prostej prostopadlej do prostej \(\displaystyle{ l:3x-2y+5=0}\) i przechodzacej przez punkt \(\displaystyle{ (3,2)}\).
Czy jesli przypisze sobie jakis punkt do prostej \(\displaystyle{ L}\) to moge z niego poprowadzic wektor, ktory bedzie wektorem rownoleglej tej prostej?
Czy należaloby to zrobic innym sposobem?
Ostatnio zmieniony 29 kwie 2022, o 17:38 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a, zapoznaj się z instrukcją https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951 .
Powód: Brak LaTeX-a, zapoznaj się z instrukcją https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951 .
-
- Administrator
- Posty: 34239
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Prosta na płaszczyźnie
Zastrzeżenie, by nie korzystać z postaci kierunkowej jest dość nieprecyzyjne - jak dla mnie to, co zaproponował JHN jest tym, czego chciano w tym zadaniu uniknąć (ale to moje wrażenie). Ale tak jest zazwyczaj wtedy, kiedy układający zadanie ma o nim pewne wyobrażenie, które potem okazuje się rozmijać z wyobrażeniem rozwiązujących...
JK
JK
- JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Re: Prosta na płaszczyźnie
Podany przez mnie fakt wynika z:Jan Kraszewski pisze: ↑29 kwie 2022, o 23:29 ... jak dla mnie to, co zaproponował JHN jest tym, czego chciano w tym zadaniu uniknąć ...
Wektor \([A,B]\) normalny do prostej \(k:Ax+By+C_k=0\) jest wektorem rozpinającym prostą \(l\) prostopadłą do niej, czyli \(l:\begin{cases}x=x_0+t\cdot A\\y=y_0+t\cdot B\end{cases}\wedge t\in\mathbb{R}\).
Co nie ma związku z postacią kierunkową.
Pozdrawiam
-
- Administrator
- Posty: 34239
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Prosta na płaszczyźnie
To, że można go bezpośrednio otrzymać z faktu o zależności współczynników kierunkowych prostych prostopadłych (w postaci kierunkowej). Ty oczywiście patrzysz na niego inaczej, ale to jest to, co napisałem powyżej: te same fakty można różnie interpretować. Poza tym - nawet jeśli nie pójdziemy tym tropem - nie jest jasne, czy rozwiązanie to zostanie uznane za "korzystające z definicji prostej".
Domyślam się, że układający zadanie ma na myśli konkretny sposób rozwiązania i chce - nakładając ograniczenia - osiągnąć ten cel. I nie sądzę, by Twój sposób był tym właśnie sposobem - co oczywiście w żaden sposób nie umniejsza wartości Twojego rozwiązania, bo to problem układającego. Natomiast w takich sytuacjach (niestety) układający czasami stara się "wymusić" rozwiązanie zadania oczekiwanym przez siebie sposobem i wtedy mógłby próbować odrzucić Twoje rozwiązanie "argumentując" tak, jak ja powyżej.
Pytanie do MatMatMatMatMat - jaką mesz definicję prostej, na podstawie której miałbyś rozwiązać to zadanie?
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 29 kwie 2022, o 16:39
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 28
Re: Prosta na płaszczyźnie
Takie same mam wątpliwości.
Definicja nie została podana.
W domyśle chodzi o wykorzystanie implementacji wektorów i użycia rozwiazan typowych dla poznanych z płaszczyzn i prostych .
Przynajmniej ja tak to rozumiem . Macie jakiś pomysł na rozwiązanie tego zadania ?
Mój sposób rozwiązania, prawdopodobnie zły :
\(\displaystyle{ x= \frac{2}{3}y - \frac{5}{3}\\\\
y=0 \\
x= - \frac{5}{3} \\
\vec{PlPk} = \left[ \frac{14}{3} , 2 \right]\\T
C= -18}\)
Ps. Musicie chyba poprawić stringa od elementów matematycznych
Odp : \(\displaystyle{ \frac{14}{3}y + 2x -18}\)
Definicja nie została podana.
W domyśle chodzi o wykorzystanie implementacji wektorów i użycia rozwiazan typowych dla poznanych z płaszczyzn i prostych .
Przynajmniej ja tak to rozumiem . Macie jakiś pomysł na rozwiązanie tego zadania ?
- Dana jest prosta l na płaszczyźnie o równaniu
3x-2y+5=0\(\displaystyle{ }\)
- napisz równanie prostej prostopadłej do prostej l: i przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ (3,2)}\)
Mój sposób rozwiązania, prawdopodobnie zły :
\(\displaystyle{ x= \frac{2}{3}y - \frac{5}{3}\\\\
y=0 \\
x= - \frac{5}{3} \\
\vec{PlPk} = \left[ \frac{14}{3} , 2 \right]\\T
C= -18}\)
Ps. Musicie chyba poprawić stringa od elementów matematycznych
Odp : \(\displaystyle{ \frac{14}{3}y + 2x -18}\)
Ostatnio zmieniony 30 kwie 2022, o 22:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Taguj teskt matematyczny.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Taguj teskt matematyczny.
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Prosta na płaszczyźnie
Jest to typowe zadanie z arkusza matury poziomu podstawowego, które uczniowie rozwiązują w następujący sposób.
Piszemy równanie prostej w postaci kierunkowej:
\(\displaystyle{ y = \frac{3}{2}x + \frac{5}{2} }\)
Zmieniamy wsoółczynik kierunkowy prostej na wspólczynnik kierunkowy prostej prostopadłej \(\displaystyle{ -\frac{1}{a} = -\frac{2}{3}. }\)
Piszemy równanie kierunkowe prostej prostopadłej w postaci:
\(\displaystyle{ y = -\frac{2}{3}x + b }\)
Wspólczynnik \(\displaystyle{ b }\) obliczamy z warunku, że prosta prostopadła przechodzi przez punkt o współrzędnych \(\displaystyle{ (3,2) }\)
\(\displaystyle{ 2 = -\frac{2}{3}\cdot 3 + b. }\)
Stąd \(\displaystyle{ b = 4. }\)
Równanie prostej prostopadłej do danej prostej:
\(\displaystyle{ l_{\perp} \ \ y = -\frac{2}{3}x + 4, }\)
lub w postaci ogólnej \(\displaystyle{ 2x +3y -12 = 0. }\)
Piszemy równanie prostej w postaci kierunkowej:
\(\displaystyle{ y = \frac{3}{2}x + \frac{5}{2} }\)
Zmieniamy wsoółczynik kierunkowy prostej na wspólczynnik kierunkowy prostej prostopadłej \(\displaystyle{ -\frac{1}{a} = -\frac{2}{3}. }\)
Piszemy równanie kierunkowe prostej prostopadłej w postaci:
\(\displaystyle{ y = -\frac{2}{3}x + b }\)
Wspólczynnik \(\displaystyle{ b }\) obliczamy z warunku, że prosta prostopadła przechodzi przez punkt o współrzędnych \(\displaystyle{ (3,2) }\)
\(\displaystyle{ 2 = -\frac{2}{3}\cdot 3 + b. }\)
Stąd \(\displaystyle{ b = 4. }\)
Równanie prostej prostopadłej do danej prostej:
\(\displaystyle{ l_{\perp} \ \ y = -\frac{2}{3}x + 4, }\)
lub w postaci ogólnej \(\displaystyle{ 2x +3y -12 = 0. }\)
-
- Administrator
- Posty: 34239
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Prosta na płaszczyźnie
Jeżeli prosta kierunkowa ma być nieużywana, to w pierwotnej postaci ogólnej prostej
\(\displaystyle{ l: 3x-2y+5=0 }\)
uczniowie robią taki trick- zmieniają miejscami współczynniki przy zmiennych \(\displaystyle{ x, y }\)
\(\displaystyle{ 2x -3y }\) i jeden ze współczynników \(\displaystyle{ 2 }\) albo \(\displaystyle{ -3 }\) zmieniają na przeciwny \(\displaystyle{ 2x + 3y. }\)
Piszą równanie prostej w potaci ogólnej:
\(\displaystyle{ 2x +3y +C = 0. }\)
Wartość wyrazu wolnego \(\displaystyle{ C }\) uzyskują z warunku przechodzenia prostej prostopadłej przez punkt o współrzędnych \(\displaystyle{ (3, 2) }\)
\(\displaystyle{ 2\cdot 3 + 3\cdot 2 + C = 0. }\)
Stąd
\(\displaystyle{ C = -12. }\)
Otrzymują równanie prostej prostopadłej w postaci ogólnej:
\(\displaystyle{ l_{\perp}: 2x +3y -12 = 0. }\)
\(\displaystyle{ l: 3x-2y+5=0 }\)
uczniowie robią taki trick- zmieniają miejscami współczynniki przy zmiennych \(\displaystyle{ x, y }\)
\(\displaystyle{ 2x -3y }\) i jeden ze współczynników \(\displaystyle{ 2 }\) albo \(\displaystyle{ -3 }\) zmieniają na przeciwny \(\displaystyle{ 2x + 3y. }\)
Piszą równanie prostej w potaci ogólnej:
\(\displaystyle{ 2x +3y +C = 0. }\)
Wartość wyrazu wolnego \(\displaystyle{ C }\) uzyskują z warunku przechodzenia prostej prostopadłej przez punkt o współrzędnych \(\displaystyle{ (3, 2) }\)
\(\displaystyle{ 2\cdot 3 + 3\cdot 2 + C = 0. }\)
Stąd
\(\displaystyle{ C = -12. }\)
Otrzymują równanie prostej prostopadłej w postaci ogólnej:
\(\displaystyle{ l_{\perp}: 2x +3y -12 = 0. }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22207
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Re: Prosta na płaszczyźnie
Byle jaki punkt nie będzie dobry. Musisz wybrać punkt na prostej, który leży najbliżej danego punktu. A to daje wskazówkę jak podejść do rozwiązania.MatMatMatMatMat pisze: ↑29 kwie 2022, o 16:45 Czesc wszystkim. Mam przed soba zadanie musze je wykonac korzystajac z definicji prostej na plaszczyznie nie korzystajac z postaci kierunkowej.
Musze napisac rownanie prostej prostopadlej do prostej \(\displaystyle{ l:3x-2y+5=0}\) i przechodzacej przez punkt \(\displaystyle{ (3,2)}\).
Czy jesli przypisze sobie jakis punkt do prostej \(\displaystyle{ L}\) to moge z niego poprowadzic wektor, ktory bedzie wektorem rownoleglej tej prostej?
Czy należaloby to zrobic innym sposobem?
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 29 kwie 2022, o 16:39
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 28
Re: Prosta na płaszczyźnie
Wiem. Nie ma podstawy żeby zakładać że leży w linii prostopadłej od punktu na prostej l. Chyba trzeba to będzie zrobić po szkolnemu i niech spada na bambusa4karo pisze: ↑1 maja 2022, o 10:28Byle jaki punkt nie będzie dobry. Musisz wybrać punkt na prostej, który leży najbliżej danego punktu. A to daje wskazówkę jak podejść do rozwiązania.MatMatMatMatMat pisze: ↑29 kwie 2022, o 16:45 Czesc wszystkim. Mam przed soba zadanie musze je wykonac korzystajac z definicji prostej na plaszczyznie nie korzystajac z postaci kierunkowej.
Musze napisac rownanie prostej prostopadlej do prostej \(\displaystyle{ l:3x-2y+5=0}\) i przechodzacej przez punkt \(\displaystyle{ (3,2)}\).
Czy jesli przypisze sobie jakis punkt do prostej \(\displaystyle{ L}\) to moge z niego poprowadzic wektor, ktory bedzie wektorem rownoleglej tej prostej?
Czy należaloby to zrobic innym sposobem?
Punkt przybliżony czyli zgadzający się z x lub y ? No ale chyba nie można do końca zakładać że prosta przez niego przechodzi. Równie dobrze na układzie wszystko może leżeć pod skosem
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Prosta na płaszczyźnie
Jeśli co najmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ a, b }\) jest różna od zera, to zbiór wektorów \(\displaystyle{ [x, y] }\) prostopadłych do wektora \(\displaystyle{
[a,b] }\) opisany jest równaniem \(\displaystyle{ ax + by = 0. }\)
Mówiąc wektor \(\displaystyle{ [x,y] }\) mamy na myśli wektor zaczynający się w punkcie \(\displaystyle{ O = (0,0) }\), którego końcem jest punkt (x,y).
Końce tych wektorów tworzą prostą prostopadłą do wektora \(\displaystyle{ [a, b]. }\)
Wobec tego jeśli \(\displaystyle{ [a, b] \neq [0,0], }\) to równanie \(\displaystyle{ ax + by + c = 0 }\) opisuje prostą prostopadlą do wektora \(\displaystyle{ [a,b]. }\)
Prosta ta jest równoległa do prostej o równaniu \(\displaystyle{ ax + by = 0. }\)
To podejście do równania ogólnego prostej i jego interpretacji geometrycznej pochodzi z wykładów dla chemików Pana dr Michała Krycha:
Elementy geometrii analitycznej i algebry liniowej na Wydziale MIiM UW.
Wróćmy do przykładu.
Równanie prostej \(\displaystyle{ l: 3x -2y + 5 = 0 }\) opisuje więc prostą prostopadłą do wektora \(\displaystyle{ [3, -2]. }\)
Jeśli mamy napisać równanie prostej prostopadłej do prostej \(\displaystyle{ l }\) to musimy znaleźć dowolny wektor prostopadły do wektora
\(\displaystyle{ [3,-2]. }\)
W tym celu korzystamy z iloczynu skalarnego wektorów, który dla wektorów prostopadłych musi być równy zeru.
Jeśli oznaczymy przez \(\displaystyle{ a, b }\) współrzędne wektora prostopadłego, to z definicji iloczynu skalarnego wektorów musi zachodzić
równość \(\displaystyle{ 3\cdot a -2\cdot b = 0. }\)
Aby znaleźć wartości \(\displaystyle{ a, b }\) najłatwiej zamieniamy miejscami liczby \(\displaystyle{ 3, -2 }\) i zmieniamy jedną z tych liczb na
przeciwną.
Otrzymujemy \(\displaystyle{ 2, 3.}\)
Sprawdzamy czy iloczyn skalarny wektorów jest równy zeru: \(\displaystyle{ [3,-2] \cdot [2, 3] = 3\cdot 2 - 2\cdot 3 = 0. }\)
Wektor \(\displaystyle{ [2, 3] }\) jest wektorem prostopadłym do wektora \(\displaystyle{ [3, -2]. }\)
Piszemy równanie prostej prostopadłej
\(\displaystyle{ l_{\perp}: 2x +3y + C = 0. }\)
Wartość \(\displaystyle{ C }\) obliczamy z warunku przechodzenia prostej przez dany punkt \(\displaystyle{ (3, 2),}\)
\(\displaystyle{ C = -12. }\)
Równanie prostej prostopadłej i przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ (3, 2) }\)
\(\displaystyle{ l_{\perp}: 2x +3y -12 = 0. }\)
[a,b] }\) opisany jest równaniem \(\displaystyle{ ax + by = 0. }\)
Mówiąc wektor \(\displaystyle{ [x,y] }\) mamy na myśli wektor zaczynający się w punkcie \(\displaystyle{ O = (0,0) }\), którego końcem jest punkt (x,y).
Końce tych wektorów tworzą prostą prostopadłą do wektora \(\displaystyle{ [a, b]. }\)
Wobec tego jeśli \(\displaystyle{ [a, b] \neq [0,0], }\) to równanie \(\displaystyle{ ax + by + c = 0 }\) opisuje prostą prostopadlą do wektora \(\displaystyle{ [a,b]. }\)
Prosta ta jest równoległa do prostej o równaniu \(\displaystyle{ ax + by = 0. }\)
To podejście do równania ogólnego prostej i jego interpretacji geometrycznej pochodzi z wykładów dla chemików Pana dr Michała Krycha:
Elementy geometrii analitycznej i algebry liniowej na Wydziale MIiM UW.
Wróćmy do przykładu.
Równanie prostej \(\displaystyle{ l: 3x -2y + 5 = 0 }\) opisuje więc prostą prostopadłą do wektora \(\displaystyle{ [3, -2]. }\)
Jeśli mamy napisać równanie prostej prostopadłej do prostej \(\displaystyle{ l }\) to musimy znaleźć dowolny wektor prostopadły do wektora
\(\displaystyle{ [3,-2]. }\)
W tym celu korzystamy z iloczynu skalarnego wektorów, który dla wektorów prostopadłych musi być równy zeru.
Jeśli oznaczymy przez \(\displaystyle{ a, b }\) współrzędne wektora prostopadłego, to z definicji iloczynu skalarnego wektorów musi zachodzić
równość \(\displaystyle{ 3\cdot a -2\cdot b = 0. }\)
Aby znaleźć wartości \(\displaystyle{ a, b }\) najłatwiej zamieniamy miejscami liczby \(\displaystyle{ 3, -2 }\) i zmieniamy jedną z tych liczb na
przeciwną.
Otrzymujemy \(\displaystyle{ 2, 3.}\)
Sprawdzamy czy iloczyn skalarny wektorów jest równy zeru: \(\displaystyle{ [3,-2] \cdot [2, 3] = 3\cdot 2 - 2\cdot 3 = 0. }\)
Wektor \(\displaystyle{ [2, 3] }\) jest wektorem prostopadłym do wektora \(\displaystyle{ [3, -2]. }\)
Piszemy równanie prostej prostopadłej
\(\displaystyle{ l_{\perp}: 2x +3y + C = 0. }\)
Wartość \(\displaystyle{ C }\) obliczamy z warunku przechodzenia prostej przez dany punkt \(\displaystyle{ (3, 2),}\)
\(\displaystyle{ C = -12. }\)
Równanie prostej prostopadłej i przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ (3, 2) }\)
\(\displaystyle{ l_{\perp}: 2x +3y -12 = 0. }\)