Parabola i cięciwy
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11413
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Parabola i cięciwy
Wyznaczyć miejsce geometryczne środków cięciw paraboli, na których jest ustalony punkt będący poza tą parabolą.
Ostatnio zmieniony 10 mar 2022, o 12:12 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Powód: Interpunkcja.
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Parabola i cięciwy
Mozemy przyjąć, że parabola ma równanie `y=x^2`, a dany punkt to `A=(a,b)`. Pęk prostych przechodzących przez `A` ma równanie `y-b=\lambda(x-a)`, a punkty przecięcia prostej z tego pęku z parabolą sa rozwiązaniami równania
(*) `x^2=b+\lambda x-\lambda a`.
Jeżeli rozwiązania rzeczywiste istnieją, to środek odcinka je łączącego ma współrzędne
\(\displaystyle{ \left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{x_1^2+x_2^2}{2}\right)=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{2}\right)=\left(\frac{\lambda}{2},\frac{\lambda^2-2a\lambda+2b}{2}\right)}\)
Prawa strona to równanie parametryczne kawałka paraboli, pozostaje wyznaczenie zakresu zmienności parametru `\lambda`.
Równanie (*) ma dwa rozwiązania gdy `\Delta_x=\lambda^2-4a\lambda+4b>0`.
`\Delta_\lambda=16(a^2-b)` Jeżeli zatem punkt `A` leży we wnętrzu paraboli, to `\Delta_\lambda<0` i dwa rozwiązania istnieją dla każdego `\lambda\in\RR`. Gdy `A` jest na zewnątrz, to dwa pierwiastki są tylko dla `\lambda` leżącego między pierwiastkami równania `\Delta_x=0`.
(*) `x^2=b+\lambda x-\lambda a`.
Jeżeli rozwiązania rzeczywiste istnieją, to środek odcinka je łączącego ma współrzędne
\(\displaystyle{ \left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{x_1^2+x_2^2}{2}\right)=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{2}\right)=\left(\frac{\lambda}{2},\frac{\lambda^2-2a\lambda+2b}{2}\right)}\)
Prawa strona to równanie parametryczne kawałka paraboli, pozostaje wyznaczenie zakresu zmienności parametru `\lambda`.
Równanie (*) ma dwa rozwiązania gdy `\Delta_x=\lambda^2-4a\lambda+4b>0`.
`\Delta_\lambda=16(a^2-b)` Jeżeli zatem punkt `A` leży we wnętrzu paraboli, to `\Delta_\lambda<0` i dwa rozwiązania istnieją dla każdego `\lambda\in\RR`. Gdy `A` jest na zewnątrz, to dwa pierwiastki są tylko dla `\lambda` leżącego między pierwiastkami równania `\Delta_x=0`.