Rozwinięcie pobocznicy walca – wzór funkcji

[sdamian]

WItam,
mam problem następujący:
W przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) ze standardowym kartezjańskim układem współrzędnych \(\displaystyle{ x,y,z}\) mamy dany walec pionowy o średnicy równej \(\displaystyle{ 1}\)
\(\displaystyle{ x^2 +(y-\frac{1}{2})^2=(\frac{1}{2})^2}\), \(\displaystyle{ z \ge 0}\)
walec ten przecina płaszczyzna o równaniu \(\displaystyle{ z=ay+1}\), \(\displaystyle{ a \ge 0}\), \(\displaystyle{ a \neq 1}\).
Wiemy, że przecięcie tego walca tą płaszczyzną daje nam elipsę.
Dalej rozważamy tylko już walec ścięty znajdujący się pod tą płaszczyzną.
Rozwijamy powierzchnię boczną tego ściętego walca w ten sposób, że dolna krawędź walcajest rozwijana i "przyklejana" do osi \(\displaystyle{ Oy}\),
Pomijamy teraz oś\(\displaystyle{ Ox}\) i mamy w płaskim układzie współrzędnych \(\displaystyle{ y,z}\)
firurę - "prostokąt krzywoliniowy" \(\displaystyle{ (0,1) \rightarrow (0,0) \rightarrow (0,\pi ) \rightarrow (\pi ,1) \rightarrow (0,1)}\),
gdzie pierwsze trzy przejścia oznaczją odcinki, a przejście \(\displaystyle{ (\pi ,1) \rightarrow (0,1)}\) - górna krawędź - rozwinięta ma kształt podobny do cosinusoidy? - jest to wykres pewnej funkcji \(\displaystyle{ z=f(y)}\) dla \(\displaystyle{ y\in \left[ 0,\pi \right] }\)
I dalej chodzi mi o to jak się zabrać za wyznaczenie wzoru tej funkcji \(\displaystyle{ f(y)}\) dla \(\displaystyle{ y\in \left[ 0,\pi \right] }\) ???

[Dasio11]

Powierzchnię boczną walca można sparametryzować funkcją \(\displaystyle{ \sigma : [0, \pi] \times \RR_+}\) o wzorze

\(\displaystyle{ \sigma(t, z) = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \cos (2t) \\ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sin (2t) \\ z \end{pmatrix}}\).

Podstawiając ją do równania płaszczyzny:

\(\displaystyle{ z = a \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sin (2t) \right) + 1 = \frac{a}{2} \sin(2t) + \frac{a}{2} + 1}\)

otrzymujemy równanie krzywej w \(\displaystyle{ [0, \pi] \times \RR_+}\), której obrazem jest przecięcie walca z płaszczyzną, czyli wspomniana elipsa. Stąd szukaną funkcją jest

\(\displaystyle{ f(t) = \frac{a}{2} \sin(2t) + \frac{a}{2} + 1}\).

Oczywiście punkt w którym rozcinamy powierzchnię boczną był dobrany arbitralnie - wybierając go inaczej można było dostać \(\displaystyle{ f(t) = \frac{a}{2} \cos(2t) + \frac{a}{2} + 1}\) albo \(\displaystyle{ f(t) = \frac{a}{2 \sqrt{2}} \cos(2t) + \frac{a}{2 \sqrt{2}} \sin(2t) + \frac{a}{2} + 1}\), jak również całą masę innych funkcji, których wykresy różnią się wzajemnie tylko przesunięciem w poziomie.

[sdamian]

Rozumiem, że "rozcinałeś" pobocznicę walca wzdłuż odcinka \(\displaystyle{ (\frac{1}{2} ,\frac{1}{2} ,0) \rightarrow (\frac{1}{2} ,\frac{1}{2} ,1+\frac{a}{2})}\).
Jakbym chciał ją rozciąć wzdłuż odcinka \(\displaystyle{ (0,0,0) \rightarrow (0,0,1)}\),(czego w treści nie napisałem, a o co mi chodziło), korzystnie dla mnie było by wtedy przyjąć inną parametryzację powierzchni bocznej walca :
\begin{cases} x=\frac{1}{2}\sin (2t) \\y=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos (2t) \\z=z\end{cases}
Wówczas początek krawędzi dolnej rozwinięcia pobocznicy walca znajdowałby się w punkcie \(\displaystyle{ (0,0,0)}\),
a funkcja miała by wzór \(\displaystyle{ z=f(t)=(1+\frac{a}{2})-\frac{a}{2}\cos (2t)}\), \(\displaystyle{ t\in \left[ 0,\pi\right] }\) ? -dobrze rozumuję?
Dzięki Wielkie : )

[Dasio11]

Tak.