Witam raz jeszcze. Tym razem problem mam z wzajemnym położeniem prostych - znów wychodzi mi zupełnie co innego niż profesorowi.
Profesorowi wyszły proste prostopadłe, mi skośne.
\(\displaystyle{ L_1= \begin{cases} 2x-y+3z-3=0\\ x+y-\frac{1}{2} z =0\end{cases} }\)
\(\displaystyle{ L_2= \begin{cases} x-y-z-1=0\\ 2x+y-3z-1=0\end{cases} }\)
Najpierw doprowadziłam sobie do postaci parametrycznej za pomocą podstawiania.
\(\displaystyle{ L_1=(\frac{3}{8},0,\frac{3}{4}) + span\{[-5,8,6]\}}\) (-> tu sobie zmieniłam wektor z \(\displaystyle{ [-\frac{5}{8},1,\frac{3}{4}]}\) żeby nie mieć ułamków)
\(\displaystyle{ L_2=(2,0,1) + span\{[4,1,3]\}}\)
I teraz tak
1) mnożę skalarnie wektory \(\displaystyle{ [-5,8,6] \cdot [4,1,3] = -20 + 8 + 18 \neq 0}\) czyli nie są prostopadłe
2) mnożę wektorowo i wychodzi mi wektor niezerowy, czyli też nie są równoległe.
Czy to prawda, że nie musze mnożyć wektorowo i wystarczy, że sprawdzę czy stosunki współrzędnych wektora są takie same?
3) liczę wyznacznik macierzy złożonej z wektora \(\displaystyle{ PQ = [\frac{13}{8},0,\frac{1}{4}]}\) i \(\displaystyle{ [-5,8,6]}\) oraz \(\displaystyle{ [4,1,3]}\). Wychodzi mi 20, zatem jest niezerowy. Dla zera mielibyśmy przecinanie się, a tak to są skośne.
Czy to jest dobrze? Czy da się to jakoś łatwiej sprawdzić?