Równanie parametryczne prostej

[Corinek]

Witam. Mam zadanie, żeby wyznaczyć równanie parametryczne prostej \(\displaystyle{ 2x+3y-1=0}\).

Zaczynam od wyznaczenia wektora kierunkowego i jakiegoś punktu.
Mam na to dwie metody, które rozumiem:
1) szukam dwóch punktów i tworzę wektor np.\(\displaystyle{ \left( 0, \frac{1}{3} \right)}\) i \(\displaystyle{ \left( 1, - \frac{1}{3} \right)}\). Wektor wychodzi mi \(\displaystyle{ \left[ 1, -\frac{2}{3} \right] }\)
2) przekształcam do postaci \(\displaystyle{ y=ax+b}\) i biorę wektor \(\displaystyle{ \left[ 1,a\right]}\), wychodzi mi to samo.

Dalej rozumiem, że biorę jakikolwiek punkt i prosta ma postać \(\displaystyle{ {x(t) \choose y(t)} = {0 \choose \frac{1}{3}} + t {1 \choose -\frac{2}{3}} }\)

Problem jest tylko taki, że w notatkach profesor odczytuje wektor [2,3], wyznacza wektor prostopadły [-3,2] i to on jest użyty w równaniu prostej - czyli jakby u mnie przemnożyć przez -3, to w sumie tak właśnie będzie, ale czemu biorę prostopadły, skoro przecież kierunkowy to jest ten równoległy do prostej?
Czy w takim razie obie wersje są dobrze, a sama prosta może być wyznaczona niejednoznacznie?

[piasek101]

Wektor \(\displaystyle{ [2;3]}\) nie jest kierunkowy. Ten prostopadły jest.

[a4karo]

Prosta jest wyznaczona jednoznacznie, ale jej równanie może mieć nieskończenie wiele postaci. Zauważ, że prosta `6x+5y=9` to to samo co `-18x-15y=-27`

[Corinek]

Czyli wektor, który ja mam też jest dobrze i mam po prostu wynik w innej postaci wychodzi na to.

Czy w takim razie ten wektor \(\displaystyle{ [2,3]}\) jest prostopadły do prostej? Pytam, bo następne zadanie mam znaleźć równanie parametryczne prostej prostopadłej i tam tego wektora już nie odwracamy. Moim sposobem wychodzi mi inny wynik niż profesorowi.

Tam mam \(\displaystyle{ L=2x-5y-1=0}\) i szukamy prostej prostopadłej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P(3,1)}\).
Wyszedł mi wektor kierunkowy \(\displaystyle{ [5,2]}\) dla prostej L, czyli dla prostej prostopadłej miałabym \(\displaystyle{ [-2,5]}\) lub \(\displaystyle{ [2,-5]}\) dobrze rozumiem?

Wtedy \(\displaystyle{ L'= (3,1)+ span{[-2,5]}}\) albo \(\displaystyle{ L'= (3,1)+ span{[2,-5]}}\)?

[piasek101]

1) Tak jest prostopadły do prostej - przecież tak pisałem.

2) Do równania bierzesz wektor kierunkowy, a ich masz nieskończenie wiele (stąd wiele postaci tej samej prostej).
Nie przeliczałem - ale wygląda, że masz ok.

[Corinek]

Dziękuję