krzywizna, skręcenie, normalna, binormalna

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Veera
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 28 gru 2020, o 20:59
Płeć: Kobieta
wiek: 24
Podziękował: 4 razy

krzywizna, skręcenie, normalna, binormalna

Post autor: Veera »

Jaki jest związek między krzywizną i skręceniem krzywej \(\displaystyle{ k}\), kiedy prosta normalna tej krzywej w punkcie \(\displaystyle{ k(t)}\) jest równocześnie prostą binormalną innej krzywej \(\displaystyle{ l}\) w punkcie \(\displaystyle{ l(t)}\). \(\displaystyle{ t}\) jest parametrem łukowym krzywej \(\displaystyle{ k}\), ale niekoniecznie krzywej \(\displaystyle{ l}\).
Ostatnio zmieniony 28 gru 2020, o 23:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich symboli matematycznych.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: krzywizna, skręcenie, normalna, binormalna

Post autor: janusz47 »

Porównujemy wektor kierunkowy prostej normalnej \(\displaystyle{ \vec{N(t)} }\) z wektorem kierunkowym prostej binormalnej \(\displaystyle{ \vec{B(t)}.}\)
Veera
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 28 gru 2020, o 20:59
Płeć: Kobieta
wiek: 24
Podziękował: 4 razy

Re: krzywizna, skręcenie, normalna, binormalna

Post autor: Veera »

janusz47 pisze: 29 gru 2020, o 11:56 Porównujemy wektor kierunkowy prostej normalnej \(\displaystyle{ \vec{N(t)} }\) z wektorem kierunkowym prostej binormalnej \(\displaystyle{ \vec{B(t)}.}\)
\(\frac{\left(\displaystyle{ k'} \times \displaystyle{ k''} \right) \times \displaystyle{ k'}}{\left|\displaystyle{ k'} \times \displaystyle{ k''} \right|\times \left|\displaystyle{ k'}\right|}=\frac{\displaystyle{ l'} \times \displaystyle{ l''}}{\left|\displaystyle{ l'} \times \displaystyle{ l''} \right|}\). I co dalej?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: krzywizna, skręcenie, normalna, binormalna

Post autor: janusz47 »

Z tej równości trudno będzie otrzymać związek między krzywizną \(\displaystyle{ \kappa(s), }\) a skręceniem \(\displaystyle{ \tau(s)}\) krzywej \(\displaystyle{ k. }\)

Jeżeli

\(\displaystyle{ \vec{N}(s) = \vec{B}(s), }\)

to wektory styczne:

\(\displaystyle{ \vec{N'}(s) = \vec{ B'}(s).}\)

Proszę skorzystać ze wzorów Freneta-Serreta i znaleźć związek \(\displaystyle{ \kappa(s) = f(\tau(s)).}\)

Przechodzimy na parametryzację naturalną (łukową).
Veera
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 28 gru 2020, o 20:59
Płeć: Kobieta
wiek: 24
Podziękował: 4 razy

Re: krzywizna, skręcenie, normalna, binormalna

Post autor: Veera »

janusz47 pisze: 29 gru 2020, o 17:01 Z tej równości trudno będzie otrzymać związek między krzywizną \(\displaystyle{ \kappa(s), }\) a skręceniem \(\displaystyle{ \tau(s)}\) krzywej \(\displaystyle{ k. }\)

Jeżeli

\(\displaystyle{ \vec{N}(s) = \vec{B}(s), }\)

to wektory styczne:

\(\displaystyle{ \vec{N'}(s) = \vec{ B'}(s).}\)

Proszę skorzystać ze wzorów Freneta-Serreta i znaleźć związek \(\displaystyle{ \kappa(s) = f(\tau(s)).}\)

Przechodzimy na parametryzację naturalną (łukową).
ok, wzory Freneta-Serreta:
\(\displaystyle{ \frac{d\vec{T}}{ds}=\kappa \vec{N} }\)
\(\displaystyle{ \frac{d\vec{N}}{ds}=-\kappa \vec{T}+ \tau \vec{B} }\)
\(\displaystyle{ \frac{d\vec{B}}{ds}=-\tau \vec{N} }\)
Mamy:
\(\displaystyle{ \vec{N}(s) = \vec{B}(s), }\)
\(\displaystyle{ \vec{N'}(s) = \vec{ B'}(s).}\)
\(\displaystyle{ -\kappa \vec{T}+ \tau \vec{B} =-\tau \vec{N} }\)
\(\displaystyle{ \kappa=\frac{\tau (\vec{N} +\vec{B})}{T} }\)
Dobrze?
I co teraz? Czy ponieważ \(\displaystyle{ \vec{N} =\vec{B} }\) to mogę zapisać
\(\displaystyle{ \kappa=\frac{2\tau \vec{N}}{T} }\).
Trzeba to jeszcze jakoś uprościć?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: krzywizna, skręcenie, normalna, binormalna

Post autor: janusz47 »

\(\displaystyle{ \vec{T} }\) zamiast \(\displaystyle{ T }\)

Uwzględniamy moduły wektorów:

\(\displaystyle{ \kappa = \frac{2|\vec{N}|}{|\vec{T}|} \tau = 2\tau }\)

lub

\(\displaystyle{ \kappa = \frac{2|\vec{B}|}{|\vec{T}|}\tau = 2\tau. }\)
Veera
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 28 gru 2020, o 20:59
Płeć: Kobieta
wiek: 24
Podziękował: 4 razy

Re: krzywizna, skręcenie, normalna, binormalna

Post autor: Veera »

Dziękuję bardzo za pomoc, ale teraz się tak zastanawiam czy nie powinniśmy rozróżnić krzywej \(\displaystyle{ \displaystyle{ k} }\) i krzywej \(\displaystyle{ \displaystyle{ l} }\), czyli:
\(\displaystyle{ \vec{N_k}(s) = \vec{B_l}(s), }\)
\(\displaystyle{ \vec{N_k'}(s) = \vec{ B_l'}(s).}\)
\(\displaystyle{ -\kappa_k \vec{T_k}+ \tau_k \vec{B_k} =-\tau_l \vec{N_l} }\)
\(\displaystyle{ \kappa_k=\frac{\tau_l\vec{N_l} +\tau_k\vec{B_k}}{\vec{T_k}} }\)
I wtedy \(\displaystyle{ \vec{N_l}\neq \vec{B_k} }\).
Czy to jest złe rozumowanie?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: krzywizna, skręcenie, normalna, binormalna

Post autor: janusz47 »

Z treści zadania wynika, że musi być że zachowana równość wektorów kierunkowych i że jest to jednocześnie ta sama prosta a związek odnosimy do jednej prostej \(\displaystyle{ k.}\)
ODPOWIEDZ