Środki ciężkości

[mol_ksiazkowy]

Niech \(\displaystyle{ x(t)= \frac{2^t + 2^{-t}}{2}}\), \(\displaystyle{ y(t)= \frac{2^t - 2^{-t}}{2}}\) i \(\displaystyle{ M(t)}\) będzie środkiem ciężkości trójkąta o wierzchołkach \(\displaystyle{ (x(t), y(t))}\) , \(\displaystyle{ (x(t+1), y(t+1))}\) , \(\displaystyle{ (x(t+2), y(t+2))}\) . Wyznaczyć zbiór \(\displaystyle{ \{ M(t) : t \in \RR \}}\).

[Janusz Tracz]

szkic:    

Niech \(\displaystyle{ \left( x^*(t),y^*(t)\right) }\) to współrzędne środka ciężkości. Można policzyć, że:

\(\displaystyle{ x^*(t)= \frac{7}{3}2^{t-3}\left( 4^{t+1}+1\right) }\)

\(\displaystyle{ y^*(t)= \frac{7}{3}2^{t-3}\left( 4^{t+1}-1\right) }\)

dzieląc jedno przez drugie dostaniemy równanie z którego można wyrugować \(\displaystyle{ t}\). Zależność \(\displaystyle{ t=t\left( x,y\right) }\) wstawiamy do dowolnego równania wcześniej i dostajemy funkcję uwikłaną po której porusza się środek ciężkości czyli to jest szukany zbiór.