Dwa zadania wektorowe

[PokeKolekcjoner]

Witam, mam problemy z rozwiązaniem tych dwóch zadań:

1. Dane są cztery punkty \(\displaystyle{ A, B, C}\), i \(\displaystyle{ D}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ |AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|DA|^{2} \ge |AC|^{2}
+|BD|^{2}}\).

2. Udowodnij, że spośród dowolnych pięciu wektorów można zawsze wybrać takie dwa, aby długość ich sumy była nie większa niż długość sumy pozostałych trzech wektorów.

Będę wdzięczny za wszelką pomoc

[janusz47]

1.
Zapisujemy punkty we współrzędnych prostokątnych:

\(\displaystyle{ A(x_{1}.y_{1}, z_{1}),\ \ B(x_{2},y_{2}, z_{2}), \ \ C(x_{3},y_{3},z_{3}), \ \ D(x_{4},y_{4}, z_{4}), }\)

Aby zachodziła nierówność \(\displaystyle{ |AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|DA|^{2} \ge |AC|^{2} +|BD|^{2}}\)

musi zachodzić nierówność:

\(\displaystyle{ (x_{1} -x_{2})^2 + (x_{2} -x_{3})^2 + ( x_{3}-x_{4})^2 +(x_{4}-x_{1})^2 \geq (x_{1}-x_{3})^2 + (x_{2}-x_{4})^2 }\)

Podobnie dla współrzędnych \(\displaystyle{ y, \ \ z }\)

Ostatnia nierówność jest równoważna nierówności:

\(\displaystyle{ 0 \leq x^2_{1} +x^2_{2} + x^3_{3} + x^4_{4} - 2x_{1}x_{2} -2x_{2}x_{3} -2x_{3}x_{4}-2x_{4}x_{1} +2x_{1}x_{3} + 2x_{2}x_{4} = (x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{4})^2 }\)

Tak samo zapisujemy nierówności dla współrzędnych \(\displaystyle{ y, z.}\)

Kiedy zachodzi równość ?

Równość zachodzi, gdy

\(\displaystyle{ x_{1} + x_{3} = x_{2} + x_{4}, \ \ y_{1} + y_{3} = y_{2} +y_{4}, \ \ z_{1}+ z_{3} = z_{2} + z_{4} }\) wtedy i tylko wtedy, gdy

czworokąt \(\displaystyle{ ABCD }\) jest równoległobokiem.