Wektor prostopadły do dwóch wektorów
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 10 gru 2020, o 19:51
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
Wektor prostopadły do dwóch wektorów
Hej mam dwa wektory: \(\displaystyle{ v_1=\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\end{pmatrix}\\ v_2=\begin{pmatrix}0&0&7&1&a\end{pmatrix}}\)
I mam znaleźć do nich wektor prostopadły niezależny od wyboru \(\displaystyle{ a}\).
Policzyłam iloraz wektorów przyrównany do \(\displaystyle{ 0}\) czyli: \(\displaystyle{ 1\cdot 0 + 1\cdot 0 + 1\cdot 7+ 1\cdot 1 + 1\cdot a = 0}\).
I wyszło \(\displaystyle{ \rightarrow a+8 =0 \rightarrow a=-8}\), ale z treści wynika że \(\displaystyle{ a}\) miało być dowolne więc nie wiem jak to rozwiązać, proszę o pomoc i wytłumaczenie jak to zrobić poprawnie.
I mam znaleźć do nich wektor prostopadły niezależny od wyboru \(\displaystyle{ a}\).
Policzyłam iloraz wektorów przyrównany do \(\displaystyle{ 0}\) czyli: \(\displaystyle{ 1\cdot 0 + 1\cdot 0 + 1\cdot 7+ 1\cdot 1 + 1\cdot a = 0}\).
I wyszło \(\displaystyle{ \rightarrow a+8 =0 \rightarrow a=-8}\), ale z treści wynika że \(\displaystyle{ a}\) miało być dowolne więc nie wiem jak to rozwiązać, proszę o pomoc i wytłumaczenie jak to zrobić poprawnie.
Ostatnio zmieniony 10 gru 2020, o 20:19 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeXa.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeXa.
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Re: Wektor prostopadły do dwóch wektorów
Proszę poprawić zapis zadania w LateX. Samouczek jest na forum.
Proszę obliczyć nie iloczyn skalarny, który jest skalarem tylko iloczyn wektorowy, który jest wektorem prostopadłym do tych wektorów.
Proszę obliczyć nie iloczyn skalarny, który jest skalarem tylko iloczyn wektorowy, który jest wektorem prostopadłym do tych wektorów.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8570
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 306 razy
- Pomógł: 3347 razy
Re: Wektor prostopadły do dwóch wektorów
Może wystarczą dwa iloczyny skalarne z np: \(\displaystyle{ (1,-1,0,0,0)}\) ?
@janusz47
Jak się liczy sugerowany iloczyn wektorowy?
@janusz47
Jak się liczy sugerowany iloczyn wektorowy?
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Re: Wektor prostopadły do dwóch wektorów
Jest twierdzenie, które pozwala znajdować współrzędne iloczynu wektorowego danych wektorów:
Niech \(\displaystyle{ a_{i} = (\alpha^1_{i}, ..., \alpha^{n}_{i}), \ \ i = 1,...,n-1 }\) i niech \(\displaystyle{ A_{j} }\) będzie macierzą powstałą z
\(\displaystyle{ \left( \begin{matrix} a_{1}\\ .\\. \\ . \\ a_{n-1}\end{matrix}\right) }\) przez skreślenie \(\displaystyle{ j-tej }\) kolumny.
Wówczas
\(\displaystyle{ \times( a_{1},...,a_{n-1}) = \left[(-1)^{1+n}\det (A_{1}),..., (-1)^{n+n} \det(A_{n}) \right]. }\)
Niech \(\displaystyle{ a_{i} = (\alpha^1_{i}, ..., \alpha^{n}_{i}), \ \ i = 1,...,n-1 }\) i niech \(\displaystyle{ A_{j} }\) będzie macierzą powstałą z
\(\displaystyle{ \left( \begin{matrix} a_{1}\\ .\\. \\ . \\ a_{n-1}\end{matrix}\right) }\) przez skreślenie \(\displaystyle{ j-tej }\) kolumny.
Wówczas
\(\displaystyle{ \times( a_{1},...,a_{n-1}) = \left[(-1)^{1+n}\det (A_{1}),..., (-1)^{n+n} \det(A_{n}) \right]. }\)
Ostatnio zmieniony 10 gru 2020, o 20:52 przez janusz47, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 10 gru 2020, o 19:51
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 10 gru 2020, o 19:51
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
Re: Wektor prostopadły do dwóch wektorów
A to A1..An to jest z tej kolumny która została po skreśleniu czy skąd?
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8570
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 306 razy
- Pomógł: 3347 razy
Re: Wektor prostopadły do dwóch wektorów
O ile się nie mylę, to w tym działaniu potrzebne są cztery wektory, a dane są jedynie dwa. Pozostałe dwa mogą być dowolne, czy jakoś ograniczone. I skąd wiadomo że uzyskany wektor nie będzie zależał od parametru \(\displaystyle{ a}\) ?
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Re: Wektor prostopadły do dwóch wektorów
Powyższe twierdzenie znajduje się w podręczniku:
Maria Moszyńska, Joanna Święcicka. Geometria z Algebrą Liniową BM tom 65 strona 191-193. PWN Warszawa 1987.
Patrz też:
Lech Górniewicz, Roman S. Ingarden ANALIZA MATEMATYCZNA DLA FIZYKÓW tom 2 strona 141 Wydawnictwo UMK Toruń 2000.
Że wektor \(\displaystyle{ \times( a_{1},..., a_{n-1}) }\) jest wektorem prostopadłym do pozostałych wektorów wynika z dowodu twierdzenia.
Z twierdzenia tego wynika też, że Ilość wektorów musi być równa \(\displaystyle{ i = n-1. }\)
Jeśli \(\displaystyle{ i < n-1 }\) uzupełniamy dane wektory o wektory jednostkowe
\(\displaystyle{ \vec{e_{3}} = (0,0, 1,0,0), }\)
\(\displaystyle{ \vec{e_{4}} = (0,0,0,1,0). }\)
Maria Moszyńska, Joanna Święcicka. Geometria z Algebrą Liniową BM tom 65 strona 191-193. PWN Warszawa 1987.
Patrz też:
Lech Górniewicz, Roman S. Ingarden ANALIZA MATEMATYCZNA DLA FIZYKÓW tom 2 strona 141 Wydawnictwo UMK Toruń 2000.
Że wektor \(\displaystyle{ \times( a_{1},..., a_{n-1}) }\) jest wektorem prostopadłym do pozostałych wektorów wynika z dowodu twierdzenia.
Z twierdzenia tego wynika też, że Ilość wektorów musi być równa \(\displaystyle{ i = n-1. }\)
Jeśli \(\displaystyle{ i < n-1 }\) uzupełniamy dane wektory o wektory jednostkowe
\(\displaystyle{ \vec{e_{3}} = (0,0, 1,0,0), }\)
\(\displaystyle{ \vec{e_{4}} = (0,0,0,1,0). }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Wektor prostopadły do dwóch wektorów
No i co z tego, że jest opisane gdzieś tam. Pytanie, czy to narzędzie jest dostępne autorowi wątku.
A poza tym nie wiesz, czy ten iloczyn wektorowy będzie niezależny od `a` - a o to przecież chodziło w zadaniu.
Dodano po 2 minutach 28 sekundach:
Pomijam już fakt, że kerajs zaproponował elementarną i bardzo prostą metodę rozwiązania
A poza tym nie wiesz, czy ten iloczyn wektorowy będzie niezależny od `a` - a o to przecież chodziło w zadaniu.
Dodano po 2 minutach 28 sekundach:
Pomijam już fakt, że kerajs zaproponował elementarną i bardzo prostą metodę rozwiązania
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Re: Wektor prostopadły do dwóch wektorów
Czy to jest metoda elementarna i dobra - niezależna od \(\displaystyle{ a }\) tego nie mogę powiedzieć, jak i nie mogę powiedzieć czy uogólniony iloczyn wektorowy zależy czy nie zależy od \(\displaystyle{ a. }\) Należałoby sprawdzić w tym konkretnym przypadku.