Dowód twierdzenia o środkowych trójkąta
: 13 lis 2020, o 23:48
Witam,
studiuję wektorowy dowód twierdzenia mówią o tym, że środkowe trójkąta przecinają się w tym samym punkcie. Niestety w książce nie ma rysunku więc przygotowałm go własnoręcznie:
wedle tego co mówi dowód należy skonstruować trójkąt tak, żeby jego wierzchołki `A`, `B`, `C` były utworzone przez wketory A, B, C, nastepnie jeśli `\alpha` jest punktem środkowym odcinka `BC` to mamy:
`B+C = 2 vec{O\alpha}`. I teraz pierwsza wątpliwość, zakładam, że `vec{O\alpha}` to wektor od początku układu współrzędnych do punktu `\alpha`, a jesli tak to to równanie jest prawdziwe tylko wtedy, gdy punkt `A` pokrywa się z poczatkiem układu współrzędnych - zgadza się?
W kolejnym kroku dowód mówi: jeśli `G` jest punktem który dzieli `\vec{A\alpha}` w stosunku `2:1` to mamy: `A + 2 vec{O\alpha} = 3vec{OG}`. Tutaj ponownie to równanie ma sens tylko wtedy kiedy `A = O` ale wtedy mogli po prostu zapisać `2 vec{A\alpha} = 3vec{AG}`. Ostatecznie dowód kończy równanie `3vec{OG} = A + B + C`. Tak więc czy to ja czegoś nie widzę czy ten dowód ma luki w założeniach?
PS: Dodatkowo zastanawia mnie jeszcze jedno założenie które robi się w tym dowodzie a mianowcie to iż punkt G dzieli odcinek łączący wierzchołek trójkąta z przeciwległym bokiem w stosunku `2:1` czy to również nie powinno zostać udowodnione?
Dziekuję
studiuję wektorowy dowód twierdzenia mówią o tym, że środkowe trójkąta przecinają się w tym samym punkcie. Niestety w książce nie ma rysunku więc przygotowałm go własnoręcznie:
Kod: Zaznacz cały
https://i.paste.pics/4e5f712ba866d4ec37d5ef32cd27057a.png
wedle tego co mówi dowód należy skonstruować trójkąt tak, żeby jego wierzchołki `A`, `B`, `C` były utworzone przez wketory A, B, C, nastepnie jeśli `\alpha` jest punktem środkowym odcinka `BC` to mamy:
`B+C = 2 vec{O\alpha}`. I teraz pierwsza wątpliwość, zakładam, że `vec{O\alpha}` to wektor od początku układu współrzędnych do punktu `\alpha`, a jesli tak to to równanie jest prawdziwe tylko wtedy, gdy punkt `A` pokrywa się z poczatkiem układu współrzędnych - zgadza się?
W kolejnym kroku dowód mówi: jeśli `G` jest punktem który dzieli `\vec{A\alpha}` w stosunku `2:1` to mamy: `A + 2 vec{O\alpha} = 3vec{OG}`. Tutaj ponownie to równanie ma sens tylko wtedy kiedy `A = O` ale wtedy mogli po prostu zapisać `2 vec{A\alpha} = 3vec{AG}`. Ostatecznie dowód kończy równanie `3vec{OG} = A + B + C`. Tak więc czy to ja czegoś nie widzę czy ten dowód ma luki w założeniach?
PS: Dodatkowo zastanawia mnie jeszcze jedno założenie które robi się w tym dowodzie a mianowcie to iż punkt G dzieli odcinek łączący wierzchołek trójkąta z przeciwległym bokiem w stosunku `2:1` czy to również nie powinno zostać udowodnione?
Dziekuję