Aksjomaty relacji - leży między

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
mela1015
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 28 paź 2018, o 22:20
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: kraków
Podziękował: 16 razy

Aksjomaty relacji - leży między

Post autor: mela1015 »

Wskazać model spełniający warunki II.1,II.2,II.3 i nie spełniający II.4. W tym przypadku trzeba wskazać zbiór punktów oraz trójargumentową relację w tym zbiorze.

Aksjomaty uporządkowania:
II 1. Jeżeli \(\displaystyle{ B}\) leży między \(\displaystyle{ A, C}\), to \(\displaystyle{ A, B, C}\) są różne i leżą na jednej prostej.
II 2. Jeżeli \(\displaystyle{ A, B, C}\) są różnymi punktami na prostej i \(\displaystyle{ B}\) leży pomiędzy \(\displaystyle{ A, C}\), to \(\displaystyle{ B}\) leży pomiędzy \(\displaystyle{ C, A}\).
II 3. Jeżeli \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\) są dwoma punktami na prostej, to istnieje co najmniej jeden punkt \(\displaystyle{ B}\) leżący między \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\) i co najmniej jeden punkt \(\displaystyle{ D}\) leżący w taki sposób, że \(\displaystyle{ C}\) leży pomiędzy \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ D}\).
II 4. Z dowolnych trzech różnych punktów na prostej jest zawsze jeden i tylko jeden, który leży między dwoma pozostałymi.

Czy mógłby być to okrąg gdzie \(\displaystyle{ A<B<C}\) lub \(\displaystyle{ A<C<B}\) lub \(\displaystyle{ B<A<C}\) ? ( prosta nie ma początku ani końca stąd II 4. nie będzie spełniony)
Jak by to można było zdefiniować? byłaby to relacja między punktami na okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x^2+y^2=r^2}\) i tyle?
Ostatnio zmieniony 26 paź 2020, o 20:14 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Aksjomaty relacji - leży między

Post autor: Dasio11 »

Czym jest prosta?
mela1015
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 28 paź 2018, o 22:20
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: kraków
Podziękował: 16 razy

Re: Aksjomaty relacji - leży między

Post autor: mela1015 »

początek i koniec prostej są połączone stąd mamy okrąg? Można to tak rozumieć?
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Aksjomaty relacji - leży między

Post autor: matmatmm »

Pytanie dotyczy zapewne aksjomatu II.1, w którym występuje pojęcie prostej. Aby podać model dla tego aksjomatu, należałoby to pojęcie zdefiniować (na przykład przez podanie aksjomatów).

W pozostałych aksjomatach zresztą też występuje prosta.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Aksjomaty relacji - leży między

Post autor: Dasio11 »

Inaczej mówiąc: wymyśliłem sobie model, którego uniwersum jest zbiór \(\displaystyle{ \{ \text{lew}, \text{żyrafa}, \text{antylopa} \}}\), a relacją "leżenia między" jest \(\displaystyle{ \{ (\text{antylopa}, \text{lew}, \text{żyrafa}) \}}\). Jak mam teraz sprawdzić, czy ten model spełnia którykolwiek z podanych aksjomatów?
mela1015
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 28 paź 2018, o 22:20
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: kraków
Podziękował: 16 razy

Re: Aksjomaty relacji - leży między

Post autor: mela1015 »

to jaki można dać do tego przykład aby nie zachodził aksjomat II 4 a reszta zachodziła?

Dodano po 2 minutach 22 sekundach:
Dasio11 pisze: 26 paź 2020, o 21:16 Inaczej mówiąc: wymyśliłem sobie model, którego uniwersum jest zbiór \(\displaystyle{ \{ \text{lew}, \text{żyrafa}, \text{antylopa} \}}\), a relacją "leżenia między" jest \(\displaystyle{ \{ (\text{antylopa}, \text{lew}, \text{żyrafa}) \}}\). Jak mam teraz sprawdzić, czy ten model spełnia którykolwiek z podanych aksjomatów?
trzeba zdefiniować prostą, gdzie te punkty się znajdują. Ja wymyśliłam że moje punkty mogłyby się znajdować na okręgu ale nie wiem jak opisać to że one tam się znajdują i czy w ogóle tak można
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Aksjomaty relacji - leży między

Post autor: Dasio11 »

Nie da się podać żadnego przykładu dopóki nie wytłumaczysz porządnie treści zadania.

Zgodnie z treścią modelem jest zbiór punktów z jakąś relacją trójargumentową, która - jak wnioskuję po tytule wątku - definiuje "leżenie między". To znaczy że gdy \(\displaystyle{ x, y, z}\) są trzema punktami z modelu, to model wie, czy \(\displaystyle{ x}\) leży "między" \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ z}\): jeśli trójka \(\displaystyle{ (y, x, z)}\) należy do relacji, to \(\displaystyle{ x}\) leży "między" \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ z}\), a jeśli nie należy, to nie.

Z kolei brak jest w treści jakiejkolwiek wzmianki o "leżeniu na prostej". Dla danych trzech (dwóch?) punktów z modelu nie ma zatem żadnego sensu stwierdzenie, że punkty "leżą na jednej prostej" - podobnie jak nie miałoby go stwierdzenie, że któryś z tych punktów "jest zielony" albo "ma cztery łapy". Nie może więc w takim modelu być prawdziwy ani fałszywy żaden aksjomat mówiący coś o punktach leżących na prostej, a takie są wszystkie z podanych. A skoro tak, to i niemożliwym jest podanie żądanego przykładu.

mela1015 pisze: 26 paź 2020, o 21:26trzeba zdefiniować prostą, gdzie te punkty się znajdują.
Na czym dokładnie miałoby to polegać?
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Aksjomaty relacji - leży między

Post autor: matmatmm »

Że tak dopytam, to jest zdaje się część z aksjomatów Hilberta, nie ? Ta numeracja od II by na to wskazywała. Można wiedzieć jakie jest źródło tego problemu? Może trzeba założyć też aksjomaty incydencji (np. dwuwymiarowe) ?
mela1015
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 28 paź 2018, o 22:20
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: kraków
Podziękował: 16 razy

Re: Aksjomaty relacji - leży między

Post autor: mela1015 »

tak, jest to część aksjomatów Hilberta. Zadanie polega na tym aby znaleźć taki model który nie spełnia aksjomatu II 4. ale spełnia aksjomaty II 1. - II 3. Muszę zdefiniować relację leżenia punktów na okręgu. Dlaczego na okręgu? - bo tutaj widać że każdy punkt będzie leżał pomiędzy dwoma pozostałymi. Największą trudnością dla mnie jest właśnie zdefiniowanie tej relacji. Dostałam małą podpowiedź od prowadzącego, że można taką relację zapisać za pomocą kątów - ale nadal dużo mi to nie mówi
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Aksjomaty relacji - leży między

Post autor: matmatmm »

A zdajesz sobie sprawę z tego, że niemożliwe jest podanie jakiegokolwiek modelu dopóki nie wyjaśnisz kwestii, czym jest prosta w tych aksjomatach? To tak jakby w aksjomatach występowało słowo "pietruszka":

Aksjomat II1. Jeżeli \(\displaystyle{ B}\) leży między \(\displaystyle{ A,C}\), to \(\displaystyle{ A,B,C}\) są różne i leżą na jednej pietruszce.

Nie wiemy, czym jest ta pietruszka.
mela1015
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 28 paź 2018, o 22:20
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: kraków
Podziękował: 16 razy

Re: Aksjomaty relacji - leży między

Post autor: mela1015 »

Już mówiłam że w naszym przypadku prostą będzie okrąg (tzn np. zbiór (x, y) taki ze \(\displaystyle{ x^2+y^2=4 }\)) zbiór ten jest zbiorem gęstym dlatego między kolejnymi punktami można wstawiać kolejne..
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Aksjomaty relacji - leży między

Post autor: matmatmm »

Przykro mi, że to powiem, ale chyba zupełnie nie rozumiesz, czego dotyczy pytanie, bo twoje odpowiedzi o okręgu są zwyczajnie nie na temat. Zanim przejdziemy do definiowania modelu musimy wyjaśnić treść zadania, która jest niedoprecyzowana, a patrząc na twoje próby z okręgiem, chyba nie zdajesz sobie z tego sprawy.

Na ten moment widzę dwie możliwości naprawienia treści zadania:

1. Uznajemy, że prosta to całe uniwersum modelu.
2. Przyjmujemy dodatkowo aksjomaty incydencji.
ODPOWIEDZ