Aksjomaty relacji - leży między
-
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 28 paź 2018, o 22:20
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: kraków
- Podziękował: 16 razy
Aksjomaty relacji - leży między
Wskazać model spełniający warunki II.1,II.2,II.3 i nie spełniający II.4. W tym przypadku trzeba wskazać zbiór punktów oraz trójargumentową relację w tym zbiorze.
Aksjomaty uporządkowania:
II 1. Jeżeli \(\displaystyle{ B}\) leży między \(\displaystyle{ A, C}\), to \(\displaystyle{ A, B, C}\) są różne i leżą na jednej prostej.
II 2. Jeżeli \(\displaystyle{ A, B, C}\) są różnymi punktami na prostej i \(\displaystyle{ B}\) leży pomiędzy \(\displaystyle{ A, C}\), to \(\displaystyle{ B}\) leży pomiędzy \(\displaystyle{ C, A}\).
II 3. Jeżeli \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\) są dwoma punktami na prostej, to istnieje co najmniej jeden punkt \(\displaystyle{ B}\) leżący między \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\) i co najmniej jeden punkt \(\displaystyle{ D}\) leżący w taki sposób, że \(\displaystyle{ C}\) leży pomiędzy \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ D}\).
II 4. Z dowolnych trzech różnych punktów na prostej jest zawsze jeden i tylko jeden, który leży między dwoma pozostałymi.
Czy mógłby być to okrąg gdzie \(\displaystyle{ A<B<C}\) lub \(\displaystyle{ A<C<B}\) lub \(\displaystyle{ B<A<C}\) ? ( prosta nie ma początku ani końca stąd II 4. nie będzie spełniony)
Jak by to można było zdefiniować? byłaby to relacja między punktami na okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x^2+y^2=r^2}\) i tyle?
Aksjomaty uporządkowania:
II 1. Jeżeli \(\displaystyle{ B}\) leży między \(\displaystyle{ A, C}\), to \(\displaystyle{ A, B, C}\) są różne i leżą na jednej prostej.
II 2. Jeżeli \(\displaystyle{ A, B, C}\) są różnymi punktami na prostej i \(\displaystyle{ B}\) leży pomiędzy \(\displaystyle{ A, C}\), to \(\displaystyle{ B}\) leży pomiędzy \(\displaystyle{ C, A}\).
II 3. Jeżeli \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\) są dwoma punktami na prostej, to istnieje co najmniej jeden punkt \(\displaystyle{ B}\) leżący między \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\) i co najmniej jeden punkt \(\displaystyle{ D}\) leżący w taki sposób, że \(\displaystyle{ C}\) leży pomiędzy \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ D}\).
II 4. Z dowolnych trzech różnych punktów na prostej jest zawsze jeden i tylko jeden, który leży między dwoma pozostałymi.
Czy mógłby być to okrąg gdzie \(\displaystyle{ A<B<C}\) lub \(\displaystyle{ A<C<B}\) lub \(\displaystyle{ B<A<C}\) ? ( prosta nie ma początku ani końca stąd II 4. nie będzie spełniony)
Jak by to można było zdefiniować? byłaby to relacja między punktami na okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x^2+y^2=r^2}\) i tyle?
Ostatnio zmieniony 26 paź 2020, o 20:14 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 28 paź 2018, o 22:20
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: kraków
- Podziękował: 16 razy
Re: Aksjomaty relacji - leży między
początek i koniec prostej są połączone stąd mamy okrąg? Można to tak rozumieć?
-
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Aksjomaty relacji - leży między
Pytanie dotyczy zapewne aksjomatu II.1, w którym występuje pojęcie prostej. Aby podać model dla tego aksjomatu, należałoby to pojęcie zdefiniować (na przykład przez podanie aksjomatów).
W pozostałych aksjomatach zresztą też występuje prosta.
W pozostałych aksjomatach zresztą też występuje prosta.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Aksjomaty relacji - leży między
Inaczej mówiąc: wymyśliłem sobie model, którego uniwersum jest zbiór \(\displaystyle{ \{ \text{lew}, \text{żyrafa}, \text{antylopa} \}}\), a relacją "leżenia między" jest \(\displaystyle{ \{ (\text{antylopa}, \text{lew}, \text{żyrafa}) \}}\). Jak mam teraz sprawdzić, czy ten model spełnia którykolwiek z podanych aksjomatów?
-
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 28 paź 2018, o 22:20
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: kraków
- Podziękował: 16 razy
Re: Aksjomaty relacji - leży między
to jaki można dać do tego przykład aby nie zachodził aksjomat II 4 a reszta zachodziła?
Dodano po 2 minutach 22 sekundach:
Dodano po 2 minutach 22 sekundach:
trzeba zdefiniować prostą, gdzie te punkty się znajdują. Ja wymyśliłam że moje punkty mogłyby się znajdować na okręgu ale nie wiem jak opisać to że one tam się znajdują i czy w ogóle tak możnaDasio11 pisze: ↑26 paź 2020, o 21:16 Inaczej mówiąc: wymyśliłem sobie model, którego uniwersum jest zbiór \(\displaystyle{ \{ \text{lew}, \text{żyrafa}, \text{antylopa} \}}\), a relacją "leżenia między" jest \(\displaystyle{ \{ (\text{antylopa}, \text{lew}, \text{żyrafa}) \}}\). Jak mam teraz sprawdzić, czy ten model spełnia którykolwiek z podanych aksjomatów?
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Aksjomaty relacji - leży między
Nie da się podać żadnego przykładu dopóki nie wytłumaczysz porządnie treści zadania.
Zgodnie z treścią modelem jest zbiór punktów z jakąś relacją trójargumentową, która - jak wnioskuję po tytule wątku - definiuje "leżenie między". To znaczy że gdy \(\displaystyle{ x, y, z}\) są trzema punktami z modelu, to model wie, czy \(\displaystyle{ x}\) leży "między" \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ z}\): jeśli trójka \(\displaystyle{ (y, x, z)}\) należy do relacji, to \(\displaystyle{ x}\) leży "między" \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ z}\), a jeśli nie należy, to nie.
Z kolei brak jest w treści jakiejkolwiek wzmianki o "leżeniu na prostej". Dla danych trzech (dwóch?) punktów z modelu nie ma zatem żadnego sensu stwierdzenie, że punkty "leżą na jednej prostej" - podobnie jak nie miałoby go stwierdzenie, że któryś z tych punktów "jest zielony" albo "ma cztery łapy". Nie może więc w takim modelu być prawdziwy ani fałszywy żaden aksjomat mówiący coś o punktach leżących na prostej, a takie są wszystkie z podanych. A skoro tak, to i niemożliwym jest podanie żądanego przykładu.
Zgodnie z treścią modelem jest zbiór punktów z jakąś relacją trójargumentową, która - jak wnioskuję po tytule wątku - definiuje "leżenie między". To znaczy że gdy \(\displaystyle{ x, y, z}\) są trzema punktami z modelu, to model wie, czy \(\displaystyle{ x}\) leży "między" \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ z}\): jeśli trójka \(\displaystyle{ (y, x, z)}\) należy do relacji, to \(\displaystyle{ x}\) leży "między" \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ z}\), a jeśli nie należy, to nie.
Z kolei brak jest w treści jakiejkolwiek wzmianki o "leżeniu na prostej". Dla danych trzech (dwóch?) punktów z modelu nie ma zatem żadnego sensu stwierdzenie, że punkty "leżą na jednej prostej" - podobnie jak nie miałoby go stwierdzenie, że któryś z tych punktów "jest zielony" albo "ma cztery łapy". Nie może więc w takim modelu być prawdziwy ani fałszywy żaden aksjomat mówiący coś o punktach leżących na prostej, a takie są wszystkie z podanych. A skoro tak, to i niemożliwym jest podanie żądanego przykładu.
Na czym dokładnie miałoby to polegać?
-
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Aksjomaty relacji - leży między
Że tak dopytam, to jest zdaje się część z aksjomatów Hilberta, nie ? Ta numeracja od II by na to wskazywała. Można wiedzieć jakie jest źródło tego problemu? Może trzeba założyć też aksjomaty incydencji (np. dwuwymiarowe) ?
-
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 28 paź 2018, o 22:20
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: kraków
- Podziękował: 16 razy
Re: Aksjomaty relacji - leży między
tak, jest to część aksjomatów Hilberta. Zadanie polega na tym aby znaleźć taki model który nie spełnia aksjomatu II 4. ale spełnia aksjomaty II 1. - II 3. Muszę zdefiniować relację leżenia punktów na okręgu. Dlaczego na okręgu? - bo tutaj widać że każdy punkt będzie leżał pomiędzy dwoma pozostałymi. Największą trudnością dla mnie jest właśnie zdefiniowanie tej relacji. Dostałam małą podpowiedź od prowadzącego, że można taką relację zapisać za pomocą kątów - ale nadal dużo mi to nie mówi
-
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Aksjomaty relacji - leży między
A zdajesz sobie sprawę z tego, że niemożliwe jest podanie jakiegokolwiek modelu dopóki nie wyjaśnisz kwestii, czym jest prosta w tych aksjomatach? To tak jakby w aksjomatach występowało słowo "pietruszka":
Aksjomat II1. Jeżeli \(\displaystyle{ B}\) leży między \(\displaystyle{ A,C}\), to \(\displaystyle{ A,B,C}\) są różne i leżą na jednej pietruszce.
Nie wiemy, czym jest ta pietruszka.
Aksjomat II1. Jeżeli \(\displaystyle{ B}\) leży między \(\displaystyle{ A,C}\), to \(\displaystyle{ A,B,C}\) są różne i leżą na jednej pietruszce.
Nie wiemy, czym jest ta pietruszka.
-
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 28 paź 2018, o 22:20
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: kraków
- Podziękował: 16 razy
Re: Aksjomaty relacji - leży między
Już mówiłam że w naszym przypadku prostą będzie okrąg (tzn np. zbiór (x, y) taki ze \(\displaystyle{ x^2+y^2=4 }\)) zbiór ten jest zbiorem gęstym dlatego między kolejnymi punktami można wstawiać kolejne..
-
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Aksjomaty relacji - leży między
Przykro mi, że to powiem, ale chyba zupełnie nie rozumiesz, czego dotyczy pytanie, bo twoje odpowiedzi o okręgu są zwyczajnie nie na temat. Zanim przejdziemy do definiowania modelu musimy wyjaśnić treść zadania, która jest niedoprecyzowana, a patrząc na twoje próby z okręgiem, chyba nie zdajesz sobie z tego sprawy.
Na ten moment widzę dwie możliwości naprawienia treści zadania:
1. Uznajemy, że prosta to całe uniwersum modelu.
2. Przyjmujemy dodatkowo aksjomaty incydencji.
Na ten moment widzę dwie możliwości naprawienia treści zadania:
1. Uznajemy, że prosta to całe uniwersum modelu.
2. Przyjmujemy dodatkowo aksjomaty incydencji.