Jednokładność odcinka

[matematykipatyk]

Odcinek o o końcach \(\displaystyle{ C(3,-6)}\) i \(\displaystyle{ D(7,2)}\) jest obrazem odcinka o końcach \(\displaystyle{ A(-1,-4)}\) i \(\displaystyle{ B(1,0)}\) w pewnej jednokładności o skali \(\displaystyle{ k}\). wyznacz tę skalę oraz środek jednokładności jężeli k jest liczbą:
a) dodatnią
b) ujemną
Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ 7=k(1-a)+a}\)
\(\displaystyle{ 3=-ka+a}\)
\(\displaystyle{ 7-k+ka=3+ka}\)
\(\displaystyle{ k=4}\)

Prawidłowa odpowiedź to \(\displaystyle{ k=2}\).

[janusz47]

\(\displaystyle{ \vec{CD} = k \cdot \vec{AB} }\)

\(\displaystyle{ [4,8] = k\cdot [ 2, 4] }\)

\(\displaystyle{ k=...}\)

[matematykipatyk]

Ale dlaczego nie wychodzi to z tych wzorów na jednokładność ? Jak powinno się dalej takie zdanie zrobić ?

[janusz47]

Jaka jest definicja przekształcenia płaszczyzny \(\displaystyle{ \Pi }\) zwanego jednokładnością?

Proszę nie trzymać się sztywno wzorów, które trzeba rozumieć, nadając funkcji jednokładności \(\displaystyle{ J^{k}_{A} }\) jawną postać, tylko zrozumieć istotę tego przekształcenia.

[piasek101]

Prawie zawsze działam z definicji jednokładności + szkic
a) punkt i jego obraz leżą po tej samej stronie środka jednokładności \(\displaystyle{ S(x;y)}\), więc

\(\displaystyle{ \overrightarrow{SD}=k\cdot\overrightarrow{SB} }\)

z tego wyznaczysz skalę oraz współrzędne środka jednokładności
\(\displaystyle{ [7-x;2-y]=k[1-x;0-y]}\)

[matematykipatyk]

Ok. Dzięki. Ten z ujemną skalą tez zrobiłem i się zgadza. Tylko dlaczego nie wychodzi to z tych wzorów na jednokładność ?

[janusz47]

Wychodzi ze wzorów na jednokładność.

Niech \(\displaystyle{ k \neq 0.}\)

Z definicji jednokładności

\(\displaystyle{ \vec{AP'} = k\cdot \vec{AP} }\)

\(\displaystyle{ [x' -x_{0}, \ \ y'-y_{0}] = k\cdot [x - x_{0}, \ \ y - y_{0}] }\)

\(\displaystyle{ x' -x_{0} = k\cdot (x- x_{0}) }\) i \(\displaystyle{ y' - y_{0} = k\cdot (y - y_{0})}\)

\(\displaystyle{ x' = x_{0} + k\cdot (x-x_{0}), \ \ y' = y_{0} + k\cdot (y-y_{0}) }\)

\(\displaystyle{ (x', y') \rightarrow J^{k}_{(x_{0},y_{0})} \rightarrow [ x_{0} + k \cdot (x-x_{0}), \ \ y_{0} + k\cdot (y -y_{0})] }\)


W zadaniu rozwiązujemy układy równań liniowych

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3 = x_{0} + k(-1 -x_{0}) \\ -6 = y_{0} +k(-4 -y_{0}) \\ 7 = x_{0} +k(1 -x_{0}) \\ 2 = y_{0} + k(0 -y_{0}) \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3 = x_{0} - k - kx_{0} \\ -6 = y_{0} - 4k -ky_{0} \\ 7 = x_{0} + k -kx_{0} \\ 2 = y_{0} -2y_{0} \end{cases} }\)

Z układu równań np. \(\displaystyle{ (1), (3), \ \ 4 = 2k, \ \ k = 2. }\)

Po podstawieniu \(\displaystyle{ k = 2 }\) do równań np. \(\displaystyle{ (1), (4) }\) otrzymujemy współrzędne środka jednokładności

\(\displaystyle{ (x_{0} , \ \ y_{0}) = (-5, -2). }\)

[matematykipatyk]

A no fakt wychodzi. Dziękuję.