Równanie paraboli w przestrzeni trójwymiarowej

[baart9k36]

Czy znacie jakieś ładne wzorki, którymi opisuje się parabolę w przestrzeni trójwymiarowej?

Chciałbym tego użyć do opisu lotu piłki. W obecnej chwili mam rzut lotu na płaszczyznę XY, który zawiera się w pewnej prostej "k", oraz rzut na płaszczyznę prostopadłą do płaszczyzny XY i równoległą do prostej "k" (płaszczyzna NZ), który zawiera się w pewnej paraboli. Innymi słowy mam prostą w jednym układzie współrzędnych i parabolę w innym. Chciałbym teraz to ładnie połączyć i uzyskać jakiś wzór (funkcja dwóch zmiennych x, y dająca wartość z), który będzie opisywał ten lot w przestrzeni XYZ. Jak się do tego zabrać?

[Dasio11]

Oznaczmy:

\(\displaystyle{ p}\) - parabola zawarta w płaszczyźnie \(\displaystyle{ \mathrm{NZ}}\);
\(\displaystyle{ \pi}\) - płaszczyzna przechodząca przez \(\displaystyle{ k}\), prostopadła do płaszczyzny \(\displaystyle{ \mathrm{XY}}\);
\(\displaystyle{ \tau}\) - walec paraboliczny powstały z przesuwania \(\displaystyle{ p}\) wzdłuż prostej prostopadłej do płaszczyzny \(\displaystyle{ \mathrm{NZ}}\).

Szukana parabola w przestrzeni to \(\displaystyle{ \pi \cap \tau}\). Wzór analityczny w dowolnej postaci też można uzyskać, ale metoda zależy od postaci danych wejściowych - wzorów opisujących \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ p}\). Jednak raczej nie będzie to

jakiś wzór (funkcja dwóch zmiennych x, y dająca wartość z)

bo w ten da się opisać powierzchnię, a nie krzywą.

[baart9k36]

Dzięki. Faktycznie, wiara w to, że uda się opisać krzywą w postaci funkcji dwóch zmiennych, była chyba trochę naiwna. Pomyślałem jednak, że może jest to możliwe po tym, jak próbowałem narysować sobie jakąś krzywą 3d w programie Derive 6. I tam było miejsce do podania tylko jednego wyrażenia dla opisu wykresu. Być może jednak powinienem po prostu bardziej zgłębić temat obsługi tego programu i może wtedy znalazłbym sposób na narysowanie krzywej choćby przy pomocy równań parametrycznych. Mógłbyś polecić jakiś program matematyczny z funkcją rysowania krzywych 3d?

Wzór analityczny w dowolnej postaci też można uzyskać, ale metoda zależy od postaci danych wejściowych - wzorów opisujących \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ p}\).

Mógłbyś opisać, jak uzyskać taki wzór analityczny dla:
k: \(\displaystyle{ y=x}\)
p: \(\displaystyle{ z=n^2}\)
i początku układu współrzędnych NZ na prostej prostopadłej do płaszczyzny XY i przechodzącej przez punkt (0,0) płaszczyzny XY?

[Dasio11]

Mógłbyś polecić jakiś program matematyczny z funkcją rysowania krzywych 3d?

Nie znam żadnego.

Mógłbyś opisać, jak uzyskać taki wzór analityczny dla:
k: \(\displaystyle{ y=x}\)
p: \(\displaystyle{ z=n^2}\)
i początku układu współrzędnych NZ na prostej prostopadłej do płaszczyzny XY i przechodzącej przez punkt (0,0) płaszczyzny XY?

Za mało danych. Można się domyślić, że początkiem układu współrzędnych płaszczyzny NZ jest po prostu punkt \(\displaystyle{ (0, 0, 0)}\) (choć - zgodnie z Twoim opisem - mógłby być w dowolnym innym punkcie opisanej prostej), oraz że współrzędna \(\displaystyle{ z}\) jest taka sama jak we współrzędnych przestrzennych, ale jaki jest stosunek \(\displaystyle{ n}\) do pozostałych współrzędnych? Albo najlepiej - jakie współrzędne w przestrzeni mają punkty, które w układzie NZ są wektorami z bazy standardowej, tj. \(\displaystyle{ (n_1, z_1) = (1, 0)}\) i \(\displaystyle{ (n_2, z_2) = (0, 1)}\)?

[baart9k36]

Dlaczego za mało danych? Piszemy cały czas o powiązanych ze sobą dwóch rzutach paraboli, więc kierunek osi \(\displaystyle{ N}\) w układzie \(\displaystyle{ XY}\) będzie się pokrywał z kierunkiem prostej \(\displaystyle{ k}\).

Wydaje mi się, że chcesz mi pokazać, jak uzależnić \(\displaystyle{ z}\) tylko od \(\displaystyle{ x}\) lub \(\displaystyle{ y}\), zgadza się? Jeśli o to chodzi, to z tym problemu nie mam.