Równanie płaszczyzny

[Hummingbird]

Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni
\(\displaystyle{ f(x,y) = \ln(2+x^{2} \cdot y − y^{2})}\)
w punkcie, w którym jest ona równoległa do płaszczyzny \(\displaystyle{ 2y+z = 0}\)


Wektor normalny płaszczyzny \(\displaystyle{ 2y+z = 0}\) to \(\displaystyle{ \vec{n} = [0,2,1]}\)
Punkt styczności oznaczam jako \(\displaystyle{ P(x_0, y_0, f(x,y))}\)
Korzystając z pochodnych cząstkowych mogę zapisać równanie płaszczyzny:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x}(x_0, y_0)(x-x_0) + \frac{ \partial f}{ \partial y}(x_0, y_0)(y-y_0) + \frac{ \partial f}{ \partial z}(x_0, y_0)(z-z_0) = 0 }\)
oraz wektor normalny płaszczyzny powyżej to \(\displaystyle{ \vec{n} = [\frac{ \partial f}{ \partial x}(x_0, y_0),\frac{ \partial f}{ \partial y}(x_0, y_0),-1]}\)

W jaki sposób pociągnąć dalej to zadanie? Próbowałem przyrównywać do siebie kolejne współrzędne wektorów, ale dla ostatnich otrzymałbym 1 = -1. Natomiast jak próbowałem ich stosunki przyrównywać do siebie, to 0 z wektora \(\displaystyle{ \vec{n} = [0,2,1]}\), pojawia mi się w mianowniku. Proszę o pomoc.

[kerajs]

Fakt, te wektory powinny być proporcjonalne:
\(\displaystyle{ [\frac{ \partial f}{ \partial x}(x_0, y_0),\frac{ \partial f}{ \partial y}(x_0, y_0),-1]=\alpha [0,2,1]}\)
\(\displaystyle{ \alpha =-1 \\

\begin{cases} \frac{ \partial f}{ \partial x}(x_0, y_0) =0\\ \frac{ \partial f}{ \partial y}(x_0, y_0)=-2 \end{cases} \\
\\
\\ ... \\
\begin{cases} x=0 \\ y=-2 \end{cases} \ \ \vee \ \ \begin{cases} x=0 \\ y=1 \end{cases}}\)

[Hummingbird]

Otrzymaliśmy dwa rozwiązania... czyli dostanę dwa wektory normalne
\(\displaystyle{ \vec{n_1} = [0,-2,-1]}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{n_2} = [0, 1,-1]}\)

i muszę korzystając z tych dwóch wektorów muszę wyznaczyć dwa równania płaszczyzny?

Wartości pochodnych cząstkowych w wyznaczonych dwóch parach punktów wychodzą takie same... Przypadek? Czy jakaś zależność?

[kerajs]

Otrzymaliśmy dwa rozwiązania... czyli dostanę dwa wektory normalne
\(\displaystyle{ \vec{n_1} = [0,-2,-1]}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{n_2} = [0, 1,-1]}\)

Ależ nie. Przecież to co wyliczyłeś, dwa punkty w których płaszczyzna styczna do powierzchni jest równoległa do zadanej płaszczyzny.

i muszę korzystając z tych dwóch wektorów muszę wyznaczyć dwa równania płaszczyzny?

Raczej korzystając z tych dwóch PUNKTÓW musisz wyznaczyć dwa równania płaszczyzny

Wartości pochodnych cząstkowych w wyznaczonych dwóch parach punktów wychodzą takie same... Przypadek? Czy jakaś zależność?

To nie przypadek. Skoro oba wektory normalne są równoległe i mają taką samą trzecią współrzędną, to pozostałe współrzędne także muszą być (parami) równe.

[Hummingbird]

Rozumiem, dziękuję bardzo!