Jak zagiąć szkło

[olekp]

Znajomy robił łazienkę ostatnio i taki miał problem.

Dana jest kabina prysznicowa o szerokości AB = 175 cm, głębokości AD = 67 i szyba płaska o szerokości 117 cm. Chcemy zrobić wejście szerokości DC = 90 cm i tak zagiąć szybę, żeby połączyła ona punkty B i C na poniższym "rysunku" i można było zrobić taką osłonę z tej zagiętej szyby. Tak, zaginanie szyby jest możliwe w specjalnym piecu i firmy to robią. Szukamy promienia krzywizny szyby po zagięciu (załóżmy, że jest stały na całym łuku, i że kąty BAD i ADC są proste).

175
A-------------------------------B
|
|
67 |
|
| 90
D-------------------C

Znalazłem rozwiązanie numerycznie (a w zasadzie ręcznie bisekcją bo mi się nie chciało programu pisać) i zastanawiam się czy istnieje jakieś bardzej analityczne podejście do zagadnienia. Może ktoś spróbuje.

PS. Wynik to (pi razy drzwi) 86,24 cm.

[Dasio11]

Innymi słowy: jaki musi być promień okręgu, którego pewien łuk ma długość \(\displaystyle{ 117}\), a odpowiadająca mu cięciwa ma długość równą odległości \(\displaystyle{ BC}\), która - jak łatwo obliczyć - wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{(175-90)^2 + 67^2} = \sqrt{11714}}\). Niech \(\displaystyle{ r}\) będzie szukanym promieniem, a \(\displaystyle{ \alpha}\) - kątem łuku w radianach. Wtedy

\(\displaystyle{ \begin{cases}
r \alpha = 117 \\
2r \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{11714}
\end{cases}}\)

Nie wydaje się, żeby ten układ był możliwy do analitycznego rozwiązania, bo wymaga to odwrócenia funkcji \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{x}}\). Przybliżone rozwiązanie, które podałeś, jest dobre.

[olekp]

Jeszcze się tym pobawiłem.
\(\displaystyle{ L}\) - długość łuku
\(\displaystyle{ C}\) - długość cięciwy
Biorąc 3 początkowe wyrazy rozwinięcia \(\displaystyle{ \sin x}\) można dojść do wzoru:
\(\displaystyle{ R = \frac{L}{2 \sqrt{10 - \sqrt{100 - 120 \left( 1-\frac{C}{L} \right)}}}}\)
Daje to 86,228 cm z błędem rzędu 0,1 mm, co do "celów budowlanych" chyba wystarczy.