Wyznaczyć wektorowe parametryczne równanie płaszczyzny

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Maciek412
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 2 cze 2020, o 23:58
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 2 razy

Wyznaczyć wektorowe parametryczne równanie płaszczyzny

Post autor: Maciek412 »

Dzień dobry!
Mam do rozwiązania następujące zadanie:
Wyznacz wektorowe parametryczne równanie płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi \subset R^{3} }\) przechodzącej przez 3 punkty: \(\displaystyle{ P{1}=\left( 5,-5,1\right), P{2} \left( 1,5,5\right), P{3}\left( 3,3,-3\right) }\). Redukując parametry z postaci skalarnej tego równania wyznacz postać ogólną równania tej samej płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi }\).

Nie za bardzo wiem jak się za to zadanie zabrać. Myślałem, żeby na początek wyznaczyć wektory równoległe do płaszczyzny ale i na tym momencie utknąłem.

Z góry dziękuję za pomoc!
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Wyznaczyć wektorowe parametryczne równanie płaszczyzny

Post autor: a4karo »

To nie jest zły pomysł. Zrób to
Maciek412
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 2 cze 2020, o 23:58
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 2 razy

Re: Wyznaczyć wektorowe parametryczne równanie płaszczyzny

Post autor: Maciek412 »

Udało mi się policzyć wektory równoległe (współpłaszczyznowe) w taki sposób:
\(\displaystyle{ P_{1}P_{2} = \left( 5,-5,1\right) \times \left( 1,5,5\right) = \left( -30,-24,30\right) }\)
oraz
\(\displaystyle{ P_{1} P_{3} = \left( 5,-5,1\right) \times \left( 3,3,-3\right) = \left( 12,18,30\right) }\)

Następnie zapisałem równanie parametryczne w taki sposób:
\(\displaystyle{ \left( x,y,z\right) = \left( 5,-5,1\right) + s\left( -30,-24,30\right) +t\left( 12,18,30\right) }\)

No i na koniec wyszedł taki wynik:

\(\displaystyle{
\begin{cases} x = -5-30s+12t \\ y = -5-24s+18t \\z = 1+30s+30t \end{cases}
}\)


Czy wyszło w porządku? I co rozumieć przez dalszą część: "redukując parametry z postaci skalarnej wyznaczyć postać ogólną"?
Ostatnio zmieniony 7 cze 2020, o 17:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: \times.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Wyznaczyć wektorowe parametryczne równanie płaszczyzny

Post autor: a4karo »

A to jest zły pomysł. Dwa wektory leżącą w płaszczyźnie wyznaczysz z punktów lezacych na niej, ale nie w ten sposob. Jak wyznaczysz wektor mając dane dwa punkty?
Maciek412
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 2 cze 2020, o 23:58
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 2 razy

Re: Wyznaczyć wektorowe parametryczne równanie płaszczyzny

Post autor: Maciek412 »

W sensie:
\(\displaystyle{ AB = \left( x_{2}-x_{1}, y_{2}-y_{1}, z_{2}-z_{1} \right) }\) ?

Dodano po 12 minutach 47 sekundach:
Tak właściwie to przeoczyłem prostą rzecz. Licząc te wektory otrzymujemy:

\(\displaystyle{ P_{1}P_{2} = \left( -4,10,-4\right) }\)
oraz
\(\displaystyle{ P_{1}P_{3} = \left( -2,8,-4\right) }\)
czyli

\(\displaystyle{ \begin{cases}x = 5-4s-2t \\ y = -5+10s+8t \\ z = 1+4s-4t \end{cases}}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Wyznaczyć wektorowe parametryczne równanie płaszczyzny

Post autor: a4karo »

No i już.
Maciek412
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 2 cze 2020, o 23:58
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 2 razy

Re: Wyznaczyć wektorowe parametryczne równanie płaszczyzny

Post autor: Maciek412 »

Zastanawiam się jeszcze nad tym fragmentem zadania:
"Redukując parametry z postaci skalarnej tego równania wyznacz postać ogólną równania tej samej płaszczyzny π."

Wiem jak obliczyć wektor normalny \(\displaystyle{ n }\), a potem skorzystać ze wzoru na postać ogólną równania, ale chyba nie o to chodzi.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Wyznaczyć wektorowe parametryczne równanie płaszczyzny

Post autor: a4karo »

Z pierwszego i trzeciego rónania wylicz `t` w zależności od `x,y,z`, z pierwszego i drugiego wylicz `s` j.w. i wyliczone wartości wstaw do któregokolwiek równania
Maciek412
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 2 cze 2020, o 23:58
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 2 razy

Re: Wyznaczyć wektorowe parametryczne równanie płaszczyzny

Post autor: Maciek412 »

Dziękuję za pomoc :)
ODPOWIEDZ