Zad1: Wyznacz krzywiznę Gaussa oraz krzywiznę średnia (nieskończonego) walca \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=9}\).
Zad2: Wyznacz krzywiznę Gaussa oraz krzywiznę średnią wykresu \(\displaystyle{ z=xy}\).
Nie do końca rozumiem, czy tu na starcie powinno się sparametryzować i podstawić współrzędne biegunowe?
Krzywizna
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Krzywizna
Zadanie 1
\(\displaystyle{ x^2 +y^2 = 9 }\)
Różnie definiuje się krzywiznę (główną) Gaussa i krzywiznę Gaussa średnią
Korzystamy z definicji [1]
" Iloczyn krzywizn głównych
\(\displaystyle{ K_{x} = \kappa_{1}\cdot \kappa_{2} }\)
w punkcie \(\displaystyle{ x\in \mathcal{M} }\) powierzchni nazywamy krzywizną Gaussa tej powierzchni w punkcie \(\displaystyle{ x, }\) a średnia arytmetyczna krzywizn głównych
\(\displaystyle{ H_{x} = \frac{1}{2}( \kappa_{1} + \kappa_{2}) }\)
nazywa się krzywizną średnią w tym punkcie".
Powierzchnia nieskończonego walca o promieniu \(\displaystyle{ r }\) jest powierzchnią obrotową o parymetryzacji (współrzędne walcowe)
\(\displaystyle{ ( t, \theta) \rightarrow ( r\cos(\theta), r\sin(\theta), t ) }\)
W zadaniu \(\displaystyle{ r = 3 }\)
\(\displaystyle{ (t, \theta) \rightarrow (3\cos(\theta), \ \ 3\sin(\theta), t) }\)
Wartości kierunków głównych tej powierzchni [1]
\(\displaystyle{ \kappa_{1} = \frac{ 0\cdot 0 - 0\cdot 0} {3 \sqrt{(\sqrt{0 + 1^2})^3}}= 0, }\)
\(\displaystyle{ \kappa_{2} = \frac{1}{\sqrt{(0^2 + 1^2)^3}} = 1.}\)
\(\displaystyle{ K_{x} = 0\cdot 1 = 0, }\)
\(\displaystyle{ H_{x} = \frac{0 +1}{2} = \frac{1}{2}. }\)
Do wyniku \(\displaystyle{ K_{x} = 0 }\) można dojść też w inny sposób, udawadniając, że powierzchnia boczna walca, (stożka) czy powierzchnia styczna są powierzchniami rozwijalnymi dla których \(\displaystyle{ K_{x} = 0. }\)
Zadanie 2
\(\displaystyle{ z = x\cdot y.}\)
Rozwiązujemy podobnie, rozważając parametryzację powierzchni \(\displaystyle{ x(u,v) = ( u, v, u\cdot v). }\)
[1] Cezary Bowszyc, Jerzy Konarski. Wstęp do geometrii różniczkowej. Wydawnictwo Uniwersytetu Warszawskiego 2007.
\(\displaystyle{ x^2 +y^2 = 9 }\)
Różnie definiuje się krzywiznę (główną) Gaussa i krzywiznę Gaussa średnią
Korzystamy z definicji [1]
" Iloczyn krzywizn głównych
\(\displaystyle{ K_{x} = \kappa_{1}\cdot \kappa_{2} }\)
w punkcie \(\displaystyle{ x\in \mathcal{M} }\) powierzchni nazywamy krzywizną Gaussa tej powierzchni w punkcie \(\displaystyle{ x, }\) a średnia arytmetyczna krzywizn głównych
\(\displaystyle{ H_{x} = \frac{1}{2}( \kappa_{1} + \kappa_{2}) }\)
nazywa się krzywizną średnią w tym punkcie".
Powierzchnia nieskończonego walca o promieniu \(\displaystyle{ r }\) jest powierzchnią obrotową o parymetryzacji (współrzędne walcowe)
\(\displaystyle{ ( t, \theta) \rightarrow ( r\cos(\theta), r\sin(\theta), t ) }\)
W zadaniu \(\displaystyle{ r = 3 }\)
\(\displaystyle{ (t, \theta) \rightarrow (3\cos(\theta), \ \ 3\sin(\theta), t) }\)
Wartości kierunków głównych tej powierzchni [1]
\(\displaystyle{ \kappa_{1} = \frac{ 0\cdot 0 - 0\cdot 0} {3 \sqrt{(\sqrt{0 + 1^2})^3}}= 0, }\)
\(\displaystyle{ \kappa_{2} = \frac{1}{\sqrt{(0^2 + 1^2)^3}} = 1.}\)
\(\displaystyle{ K_{x} = 0\cdot 1 = 0, }\)
\(\displaystyle{ H_{x} = \frac{0 +1}{2} = \frac{1}{2}. }\)
Do wyniku \(\displaystyle{ K_{x} = 0 }\) można dojść też w inny sposób, udawadniając, że powierzchnia boczna walca, (stożka) czy powierzchnia styczna są powierzchniami rozwijalnymi dla których \(\displaystyle{ K_{x} = 0. }\)
Zadanie 2
\(\displaystyle{ z = x\cdot y.}\)
Rozwiązujemy podobnie, rozważając parametryzację powierzchni \(\displaystyle{ x(u,v) = ( u, v, u\cdot v). }\)
[1] Cezary Bowszyc, Jerzy Konarski. Wstęp do geometrii różniczkowej. Wydawnictwo Uniwersytetu Warszawskiego 2007.