Z pęku wyznaczonego przez płaszczyzny
\(\displaystyle{ 2x+y-3z+2=0}\)
\(\displaystyle{ 5x+5y-4z+3=0}\)
wybrać dwie płaszczyzny prostopadłe,
z których jedna przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ A(4, -3, 1)}\)
I nie wiem kurcze jak za to się zabrać :/ Ktoś pomoże ?
Z pęku wyznaczonego przez płaszczyzny...
-
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 19 gru 2019, o 09:07
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 0
- Podziękował: 13 razy
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Z pęku wyznaczonego przez płaszczyzny...
Możesz przykładowo znaleźć dwa punkty leżące na prostej zadanej tymi płaszczyznami z treści. Potem mając trzy punkty napisanie równania płaszczyzny przechodzącej przez te trzy punkty to już techniczne podstawienie pod wzór.
-
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 19 gru 2019, o 09:07
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 0
- Podziękował: 13 razy
Re: Z pęku wyznaczonego przez płaszczyzny...
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+y-3z+2=0 \\ 5x+5y-4z+3=0 \end{cases} }\) równanie krawędziowe prostej \(\displaystyle{ L}\)
\(\displaystyle{ \vec{n}_{1} = (2,1,-3)}\) - wektor normalny płaszczyzny 1
\(\displaystyle{ \vec{n}_{2} = (5,5,-4)}\) - wektor normalny płaszczyzny 2
\(\displaystyle{ \vec{n}_{1} \times \vec{n}_{2} = (11,-7,5)}\) - wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ L }\)
(nie rozumiem dlaczego iloczyn wektorowy wektorów normalnych płaszczyzn daje w wyniku wektor kierunkowy prostej która jest wyznaczana przez te płaszczyzny)
Dalej...
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+y-3z+2=0 \\ 5x+5y-4z+3=0 \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}2&1&-3& |-2\\5&5&-4& |-3\end{array}\right]
= w_{2} - 5w_{1} = \left[\begin{array}{cc}2&1&-3& |-2\\5&0&11& |+ 7\end{array}\right]
=w_{1} + \frac{2}{5} w_{2} \wedge w_{2}/-5 = \left[\begin{array}{cc}0&1& \frac{7}{5} & |+ \frac{4}{5} \\1&0& -\frac{11}{5} & |- \frac{7}{5} \end{array}\right]
}\)
Zatem
\(\displaystyle{ x = \frac{11}{5}z - \frac{7}{5} }\)
\(\displaystyle{ y = -\frac{7}{5}z + \frac{4}{5} }\)
Biorąc \(\displaystyle{ z = 0}\) otrzymuje konkretny punkt leżący na prostej \(\displaystyle{ L}\)
\(\displaystyle{ x = - \frac{7}{5} }\)
\(\displaystyle{ y = \frac{4}{5} }\)
\(\displaystyle{ z = 0 }\)
Równanie parametryczne prostej \(\displaystyle{ L}\):
\(\displaystyle{
\begin{cases} x = -\frac{7}{5} +11t \\ y = \frac{4}{5} - 7t \\ z = 0+5t \end{cases}
}\)
Dodatkowo punkt \(\displaystyle{ A(4,-3,1) }\) nie leży na prostej \(\displaystyle{ L}\)
( wystarczy podstawić współrzędne punktu do równania 1 płaszczyzny i zobaczyć że punkt nie należy do ów płaszczyzny \(\displaystyle{ \Rightarrow }\) nie należy do prostej \(\displaystyle{ L}\) )
Wybieram 3 dowolne punkt na prostej \(\displaystyle{ L}\):
\(\displaystyle{ A(4,-3,1)}\)
\(\displaystyle{ B( -\frac{7}{5}, \frac{4}{5}, 0 )}\)
\(\displaystyle{ C( \frac{4}{5},- \frac{3}{5},1 )}\)
Według wzoru równania płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty liczę wyznacznik z
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}(x-4)&(y+3)&(z-1)& \\ -\frac{7}{5}-4 & \frac{4}{5}+3 &0-1& \\ \frac{4}{5}-4 & - \frac{3}{5}+3 & 1-1 \end{array}\right]
}\)
po żmudnych obliczeniach dostaje równanie płaszczyzny należące do pęku, przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A}\)
\(\displaystyle{ \frac{12}{5}x + \frac{16}{5}y - \frac{4}{5}z - \frac{4}{5} = 0 }\)
po przekształceniu
\(\displaystyle{ 3x +4y-1+1=0}\)
Wszystko się zgadza tylko teraz jak skombinować tą drugą prostopadłą płaszczyznę ?
\(\displaystyle{ \vec{n}_{1} = (2,1,-3)}\) - wektor normalny płaszczyzny 1
\(\displaystyle{ \vec{n}_{2} = (5,5,-4)}\) - wektor normalny płaszczyzny 2
\(\displaystyle{ \vec{n}_{1} \times \vec{n}_{2} = (11,-7,5)}\) - wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ L }\)
(nie rozumiem dlaczego iloczyn wektorowy wektorów normalnych płaszczyzn daje w wyniku wektor kierunkowy prostej która jest wyznaczana przez te płaszczyzny)
Dalej...
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+y-3z+2=0 \\ 5x+5y-4z+3=0 \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}2&1&-3& |-2\\5&5&-4& |-3\end{array}\right]
= w_{2} - 5w_{1} = \left[\begin{array}{cc}2&1&-3& |-2\\5&0&11& |+ 7\end{array}\right]
=w_{1} + \frac{2}{5} w_{2} \wedge w_{2}/-5 = \left[\begin{array}{cc}0&1& \frac{7}{5} & |+ \frac{4}{5} \\1&0& -\frac{11}{5} & |- \frac{7}{5} \end{array}\right]
}\)
Zatem
\(\displaystyle{ x = \frac{11}{5}z - \frac{7}{5} }\)
\(\displaystyle{ y = -\frac{7}{5}z + \frac{4}{5} }\)
Biorąc \(\displaystyle{ z = 0}\) otrzymuje konkretny punkt leżący na prostej \(\displaystyle{ L}\)
\(\displaystyle{ x = - \frac{7}{5} }\)
\(\displaystyle{ y = \frac{4}{5} }\)
\(\displaystyle{ z = 0 }\)
Równanie parametryczne prostej \(\displaystyle{ L}\):
\(\displaystyle{
\begin{cases} x = -\frac{7}{5} +11t \\ y = \frac{4}{5} - 7t \\ z = 0+5t \end{cases}
}\)
Dodatkowo punkt \(\displaystyle{ A(4,-3,1) }\) nie leży na prostej \(\displaystyle{ L}\)
( wystarczy podstawić współrzędne punktu do równania 1 płaszczyzny i zobaczyć że punkt nie należy do ów płaszczyzny \(\displaystyle{ \Rightarrow }\) nie należy do prostej \(\displaystyle{ L}\) )
Wybieram 3 dowolne punkt na prostej \(\displaystyle{ L}\):
\(\displaystyle{ A(4,-3,1)}\)
\(\displaystyle{ B( -\frac{7}{5}, \frac{4}{5}, 0 )}\)
\(\displaystyle{ C( \frac{4}{5},- \frac{3}{5},1 )}\)
Według wzoru równania płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty liczę wyznacznik z
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}(x-4)&(y+3)&(z-1)& \\ -\frac{7}{5}-4 & \frac{4}{5}+3 &0-1& \\ \frac{4}{5}-4 & - \frac{3}{5}+3 & 1-1 \end{array}\right]
}\)
po żmudnych obliczeniach dostaje równanie płaszczyzny należące do pęku, przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A}\)
\(\displaystyle{ \frac{12}{5}x + \frac{16}{5}y - \frac{4}{5}z - \frac{4}{5} = 0 }\)
po przekształceniu
\(\displaystyle{ 3x +4y-1+1=0}\)
Wszystko się zgadza tylko teraz jak skombinować tą drugą prostopadłą płaszczyznę ?