Obliczanie krzywizny krzywych

[saymyname200]

Obliczyć krzywiznę następujących krzywych
1. okręgu o promieniu \(\displaystyle{ r}\),
2. krzywej parametrycznej \(\displaystyle{ x(t) = \sin^{2} t, \ y(t) = \sin t \cos t}\) dla \(\displaystyle{ t \in [0; \pi ]}\)
3. krzywej \(\displaystyle{ \gamma (t) = (e^{t}(\cos t + \sin t), \ e^{t}(\cos t - \sin t)), t \in [0; \pi ]}\)
4. elipsy o półosiach \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\): \(\displaystyle{ x(t) = a \cos t, y(t) = b \sin t, t \in [0; 2 \pi ],}\)
5. wykresu funkcji \(\displaystyle{ y = x^{3}, \ x \in [0; \infty ).}\)


czy ktoś może spojrzeć mi na moje rozwiązanie i podpowiedź co do reszty?
1)
czyli
\(\displaystyle{
x(t)=r \cos t \\
y(t)=r \ \sin t \\
t \in [0,2 \pi ] \\
K(t) = \frac{r^{2}}{(r^{2})^ \frac{3}{2} } =\frac{r^{2}}{r^{3}} = \frac{1}{r}
}\)

2)
\(\displaystyle{ x'(t)=2\sin t \cos t= \sin 2 t\\
y'(t)=\cos t \cos t + \sin t \ (-\sin t)= \cos^{2}t-\sin^{2}t \\
x'(t)^{2}+y'(t)^{2}=(\sin2t)^{2}+(\cos^{2}t-\sin^{2}t)^{2}= (2\sin t \cos t)^{2}+\cos^{4}t+\sin^{4}t-2\cos^{2}t\sin^{2}t= 2\cos^{2}t \\
\sin^{2}t+\cos^{4}t+\sin^{4}t= (\sin^{2}t+\cos^{2}t)^{2} }\)

czyli:
\(\displaystyle{ (\sin^{2}t+\cos^{2}t)^{2} \neq 0}\) dla \(\displaystyle{ t>0}\)
parametryzacja nie jest naturalna

\(\displaystyle{ x''(t)=2 \cos(2t) \\
y''(t)=-2\sin(2t) -2\sin t \cos t= -4\sin t \cos t-2\sin t \cos t= -6\sin t \cos t}\)
\
Zatem krzywizna w chwili \(\displaystyle{ \ t \in [0; \pi ]}\) jest równa:
\(\displaystyle{ K(t)= \frac{|(2\sin t \cos t)( -6\sin t \cos t )-(\cos^{2}t-\sin^{2}t)(2 \cos(2t))|}{((2\sin t \cos t)^{2}+(\cos^{2}t-\sin^{2}t)^{2})^{ \frac{3}{2} }}= \frac{(-12sin^{2} t \cos^{2} t)-2(\cos^{2}t-\sin^{2}t )^{2}}{((\sin^{2}t+\cos^{2}t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\\= \frac{(-12\sin^{2} t \cos^{2} t)-2(\cos^{2}t-\sin^{2}t )^{2}}{(\sin^{2}t+\cos^{2}t)^{3}}}\)