Płaszczyza na Oz

[brokulcia]

Przez oś Oz poprowadzić płaszczyznę
tworzącą kąt \(\displaystyle{ 60^\circ }\) z płaszczyzną \(\displaystyle{ 2x+y-\sqrt{5}z-7=0}\)

[kerajs]

Wektor normalny szukanej płaszczyzny będzie prostopadły do osi OZ. Przyjmę że jest nim \(\displaystyle{ \left[ a,b,0\right] }\).
Z iloczynu skalarnego między wektorami normalnymi:
\(\displaystyle{ a \cdot 2+b \cdot 1+0 \cdot \sqrt{5} = \sqrt{a^2+b^2} \sqrt{2^2+1^2+5}\cos 60^\circ \\
2a+b= \sqrt{a^2+b^2} \sqrt{10} \frac{1}{2} \ \ \ \bigg| ^2 \wedge 2a+b \ge 0 \\
6a^2+16ab-6b^2=0\\
a=-3b \vee a= \frac{1}{3} b \\
\pi _1: \ -3b(x-0)+b(y-0)+0(z-0)=0 \ \ \Rightarrow \ \ 3x-y=0 \\
\pi _2: \ \frac{b}{3} (x-0)+b(y-0)+0(z-0)=0 \ \ \Rightarrow \ \ x+3y=0 }\)

[krokodyl7wody]

Mam pytanie

\(\displaystyle{ \pi _1: \ -3b(x-0)+b(y-0)+0(z-0)=0 \ \ \Rightarrow \ \ 3x-y=0 \\
\pi _2: \ \frac{b}{3} (x-0)+b(y-0)+0(z-0)=0 \ \ \Rightarrow \ \ x+3y=0 }\)

Równanie płaszczyzny:
\(\displaystyle{ Ax+By+Cz = D}\)

Czemu w równaniach płaszczyzn \(\displaystyle{ \pi _1 , \pi _2 }\) jest \(\displaystyle{ (x-0), (y-0), (z-0) }\) ?

[kerajs]

Równanie ogólne płaszczyzny to :
\(\displaystyle{ \pi : \ Ax+By+Cz+D=0}\)
Jeśli punkt \(\displaystyle{ (x_0,y_0,z_0)}\) należy do tej płaszczyzny to:
\(\displaystyle{ Ax_0+By_0+Cz_0+D=0}\)
Odejmując dolne równanie od górnego mam takie równanie płaszczyzny :
\(\displaystyle{ \pi : \ A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0}\)
więc już wiesz skąd wzięły się nawiasy.
Płaszczyznę mogę zaczepić w dowolnym punkcie do niej należącym. W powyższym zadaniu mógł to być dowolny punkt osi OZ, czyli \(\displaystyle{ (0,0,t) }\). Z lenistwa wybrałem sobie bardziej szczególny, bo \(\displaystyle{ (0,0,0) }\), lecz mógł to być zupełnie inny (np: \(\displaystyle{ (0,0,3) }\) albo \(\displaystyle{ (0,0, \frac{ \sqrt[4]{3\log 134e+2,4^{6,83 \pi }} }{(3?)(4\#)(!5 )(6\$)(7!! )} ) }\) .