proste i płaszczyzna

[2szeba]

Niech l: \(\displaystyle{ \frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+1}{2}}\) będzie rzutem prostokątnym prostej k na płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi}\). Ponadto niech \(\displaystyle{ A=(-1,4,-1)}\) będzie punktem należącym do prostej k, zaś \(\displaystyle{ \alpha=\frac{\pi}{4}}\) będzie kątem nachylenia prostej k do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\). Wyznaczyć równanie ogólne płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) oraz równanie parametryczne prostej k.

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ 1)}\) Zapisz \(\displaystyle{ l}\) w postaci parametrycznej tak by mieś wektor kierunkowy, nazwijmy go \(\displaystyle{ \vec{v} }\).
\(\displaystyle{ 2)}\) Wyznacz rzut punktu \(\displaystyle{ A}\) na prostą \(\displaystyle{ l}\), nazwijmy go \(\displaystyle{ A'}\). Za pomocą \(\displaystyle{ \vec{AA'}\circ \vec{v}=0 }\)
\(\displaystyle{ 3)}\) Wektor \(\displaystyle{ \vec{AA'} }\) jest wektorem normalnym płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi }\) masz również \(\displaystyle{ A'}\) zatem można napisać równanie \(\displaystyle{ \pi }\).
\(\displaystyle{ 4)}\) Równanie prostej \(\displaystyle{ k}\) można uzyskać wyznaczając punkt przecięcia się \(\displaystyle{ k}\) z \(\displaystyle{ l}\) poprzez odsunięcie się od \(\displaystyle{ A'}\) o długość \(\displaystyle{ \left| \vec{AA'} \right| }\) po kierunku \(\displaystyle{ \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v}\right| } }\).

Będą dwa rozwiązania dla prostej \(\displaystyle{ k}\). Być może da się to uprościć szczególnie podpunkt \(\displaystyle{ 4}\).

[JHN]

Trochę wyobraźni przestrzennej i:
-)
Niech \(\displaystyle{ A'(2+t,1-2t,-1+2t)}\) będzie rzutem prostokątnym \(\displaystyle{ A}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi}\). Wtedy \(\displaystyle{ \vec{A'A}=\cdots}\) będzie prostopadły do \(\displaystyle{ \vec{v_l}=[1,-2,2]}\), skąd współrzędne \(\displaystyle{ A'}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{N_\pi}=\vec{A'A}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ (2,1,-1)\in\pi}\), to do współczynnika \(\displaystyle{ D}\) i równania ogólnego płaszczyzny blisko...
-)
Niech \(\displaystyle{ P(2+p,1-2p,-1+2p)}\) będzie punktem wspólnym prostej \(\displaystyle{ k}\) i płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\). Wtedy \(\displaystyle{ |\vec{A'P}|=|\vec{A'A}|}\) (bo \(\displaystyle{ \Delta PAA'}\) równoramienny prostokątny) i można wskazać obydwa punkty \(\displaystyle{ P}\), wektory rozpinające proste \(\displaystyle{ \vec{v_k}=\vec{PA}}\) i równania parametryczne...

Pozdrawiam

[edited] spóźniony...

[a4karo]

\(\displaystyle{ 1)}\) Zapisz \(\displaystyle{ l}\) w postaci parametrycznej tak by mieś wektor kierunkowy, nazwijmy go \(\displaystyle{ \vec{v} }\).

Po co? Wektor kierunkowy można prosto odczytać.

[Janusz Tracz]

Bo taki obmyśliłem plan.
Bo lubię postać parametryczną.
I co najważniejsze bo łatwo będzie można wstać sparametryzowane zmienne \(\displaystyle{ x(t),y(t),z(t)}\) do równania \(\displaystyle{ \vec{AA'}\circ \vec{v}=0 }\) z punktu \(\displaystyle{ (2)}\). Operując tylko na jednej zmiennej \(\displaystyle{ t}\) a nie trzech.

[2szeba]

\(\displaystyle{ \pi: 2x-y-2z-5=0}\) \(\displaystyle{ A'=(1,3,-3)}\) nie rozumiem jak mam wyznaczyć prostą k. Potrzebuję chyba więcej wskazówek.

Trochę wyobraźni przestrzennej i:
-)
Niech \(\displaystyle{ A'(2+t,1-2t,-1+2t)}\) będzie rzutem prostokątnym \(\displaystyle{ A}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi}\). Wtedy \(\displaystyle{ \vec{A'A}=\cdots}\) będzie prostopadły do \(\displaystyle{ \vec{v_l}=[1,-2,2]}\), skąd współrzędne \(\displaystyle{ A'}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{N_\pi}=\vec{A'A}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ (2,1,-1)\in\pi}\), to do współczynnika \(\displaystyle{ D}\) i równania ogólnego płaszczyzny blisko...
-)
Niech \(\displaystyle{ P(2+p,1-2p,-1+2p)}\) będzie punktem wspólnym prostej \(\displaystyle{ k}\) i płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\). Wtedy \(\displaystyle{ |\vec{A'P}|=|\vec{A'A}|}\) (bo \(\displaystyle{ \Delta PAA'}\) równoramienny prostokątny) i można wskazać obydwa punkty \(\displaystyle{ P}\), wektory rozpinające proste \(\displaystyle{ \vec{v_k}=\vec{PA}}\) i równania parametryczne...

Pozdrawiam

[edited] spóźniony...

[JHN]

\(\displaystyle{ ...A'=(1,3,-3)}\)...

.

Niech \(\displaystyle{ P(2+p,1-2p,-1+2p)}\) będzie punktem wspólnym prostej \(\displaystyle{ k}\) i płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\). Wtedy \(\displaystyle{ |\vec{A'P}|=|\vec{A'A}|}\) ...

\(\displaystyle{ \sqrt{(2+p-1)^2+(1-2p-3)^2+(-1+2p+3)^2}=\sqrt{(-1-1)^2+(4-3)^2+(-1+3)^2} }\)
\(\displaystyle{ p=-2\vee p=0}\) oznacza \(\displaystyle{ P_1(0,5,-5)}\), \(\displaystyle{ P_2(2,1,-1)}\)
Do prostej \(\displaystyle{ k}\) należy \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ P_i}\) - masz dwa punkty, zastrugaj wektor rozpinający i do postaci parametrycznej bardzo blisko...

Pozdrawiam

[edited] rachunki, jak zwykle, do sprawdzenia!

[2szeba]

Okej. Do pełnego zrozumienia zadanka jeszcze jedno pytanko. Równoramienność trójkąta APA' wynika z tego, że \(\displaystyle{ \cos{\alpha}=\frac{\pi}{4}}\)?

[JHN]

Okej. Do pełnego zrozumienia zadanka jeszcze jedno pytanko. Równoramienność trójkąta APA' wynika z tego, że \(\displaystyle{ \cos{\alpha}=\frac{\pi}{4}}\)?

NIE! To \(\displaystyle{ \alpha=\frac{\pi}{4}}\)!
Pozdrawiam

[2szeba]

Oczywiście bez \(\displaystyle{ cos}\) miało być dziękuję za pomoc.