Płaszczyzny i proste

[nyctophilia]

Dane są płaszczyzny:
1. \(\displaystyle{ { \pi }_1}\) przechodząca przez punkty \(\displaystyle{ P(1, 0, 2), Q(1, 0, 0)}\) i \(\displaystyle{ R(1, 1, 1)}\)
2. \(\displaystyle{ \pi _2}\) przechodząca przez punkty \(\displaystyle{ A(2, 1, 4), B(2, 1, 2)}\) i \(\displaystyle{ C(2, 2, 3)}\)
Oraz prosta \(\displaystyle{ l}\) przechodząca przez punkty \(\displaystyle{ D(3, 1, 3)}\) i \(\displaystyle{ E(6, 1, 3)}\)
1) Znajdź postać ogólną i parametryczną powyższych płaszczyzn.
2) Znajdź postać parametryczną, kierunkową i krawędziową powyższej prostej.
3) Znajdź część wspólną podanej prostej z płaszczyzną 1 oraz 2.
4) Oblicz odległość między tymi płaszczyznami

Proszę o sprawdzenie mojego rozwiązania i rozwianie wątpliwości

1) płaszczyzna \(\displaystyle{ { \pi }_1}\):
\(\displaystyle{ P(1, 0, 2)}\) \(\displaystyle{ Q(1, 0, 0)}\) \(\displaystyle{ R(1, 1, 1)}\)
\(\displaystyle{ \vec{PQ}=[0,0,-2]}\)
\(\displaystyle{ \vec{PR}=[0,1,-1]}\)
\(\displaystyle{ \vec{PQ} \times\vec{PR} = [2,0,0]}\)
postać parametryczna:
\(\displaystyle{
x = 1
}\)
\(\displaystyle{ y = t}\)
\(\displaystyle{ z = 2 - 2s - t}\)
postać ogólna:
\(\displaystyle{ 2(x-1) = 0}\)
\(\displaystyle{ 2x - 2 = 0}\)

płaszczyzna \(\displaystyle{ { \pi }_2}\):
\(\displaystyle{ A(2, 1, 4)}\) \(\displaystyle{ B(2, 1, 2)}\) \(\displaystyle{ C(2, 2, 3)}\)
\(\displaystyle{ \vec{AB}=[0,0,-2]}\)
\(\displaystyle{ \vec{AC}=[0,1,-1]}\)
\(\displaystyle{ \vec{AB} \times\vec{AC} = [2,0,0]}\)
postać parametryczna:
\(\displaystyle{
x = 2
}\)
\(\displaystyle{ y = 1+ t}\)
\(\displaystyle{ z = 4 - 2s - t}\)
postać ogólna:
\(\displaystyle{ 2(x-2) = 0}\)
\(\displaystyle{ 2x - 4 = 0}\)

2) prosta \(\displaystyle{ l}\):
\(\displaystyle{ D(3,1,3)}\) \(\displaystyle{ E(6,1,3)}\)
\(\displaystyle{ \vec{DE}=[3,0,0]}\)
postać parametryczna:
\(\displaystyle{ x = 3 + 3t}\)
\(\displaystyle{ y = 1}\)
\(\displaystyle{ z = 3}\)
postać kierunkowa:
\(\displaystyle{ \frac{x-3}{3} = \frac{y-1}{0} = \frac{z-3}{0} }\) nie można dzielić przez zero więc postać kierunkowa to będzie po prostu \(\displaystyle{ \frac{x-3}{3}}\) ? czy jakoś inaczej trzeba to zapisać?
postać krawędziowa:
skoro już mam wyznaczone równania płaszczyzn to postać krawędziowa prostej będzie wyglądać tak (?):
\(\displaystyle{ 2x-2=0}\)
\(\displaystyle{ 2x-4=0}\)
jeśli nie to jak ją wyznaczyć?

3) W jaki sposób można to zrobić?

4) \(\displaystyle{ d = \frac{\left| D1 - D2\right| }{ \sqrt{{A} ^{2} + B^{2} + C^{2} } } = 1}\)

[kerajs]

1. OK

2.

\(\displaystyle{ \frac{x-3}{3} = \frac{y-1}{0} = \frac{z-3}{0} }\) nie można dzielić przez zero więc postać kierunkowa to będzie po prostu \(\displaystyle{ \frac{x-3}{3}}\) ? czy jakoś inaczej trzeba to zapisać?

To poprawny zapis

postać krawędziowa:
skoro już mam wyznaczone równania płaszczyzn to postać krawędziowa prostej będzie wyglądać tak (?):
\(\displaystyle{ 2x-2=0}\)
\(\displaystyle{ 2x-4=0}\)
jeśli nie to jak ją wyznaczyć?

A skąd wiesz że prosta należy do tych płaszczyzn?
Co więcej, widać że te płaszczyzny równoległe, więc się nie przecinają.

3.

3) W jaki sposób można to zrobić?

Rozwiąż układ równań zawierający parametryczną postać prostej i równanie płaszczyzny. Zobacz co dostaniesz.

4. OK