Napisać równanie płaszczyzny zawierającej punkt i prostą

[Multivitale]

Znaleźć równanie płaszczyzny zawierającej punkt \(\displaystyle{ P(2,0,1)}\) i prostą \(\displaystyle{ l}\): \(\displaystyle{ \frac{x-1}{0} = \frac{y+1}{1}= \frac{z}{2}.}\)

[a4karo]

I z czym masz kłopot?

[Multivitale]

I z czym masz kłopot?

Inne przykłady robiłam tym sposobem, ale tym razem nie wychodzi mi prawidłowy wynik
jeśli \(\displaystyle{ B=(x,y,z) }\)- dowolnie wybrany punkt szukanej płaszczyzny, a \(\displaystyle{ A= (2,-1,0)}\) punkt danej prostej o wektorze kierunkowym \(\displaystyle{ k=(0,1,2)}\) oraz \(\displaystyle{ PB=[x-2,y-0,z-1)}\) i \(\displaystyle{ PA=[0,-1,-1]}\).

\(\displaystyle{ (PB\times PA)\cdot k=0}\)

[a4karo]

A co to jest `A`?

Przecież on nie leży na prostej

[Multivitale]

A co to jest `A`?

Przecież on nie leży na prostej

To jaki pnk leży na prostej?

[a4karo]

Jeden punkt znasz. Drugi dostaniesz dodając do niego wektor ierunkowy na przykład

[Multivitale]

Jeden punkt znasz. Drugi dostaniesz dodając do niego wektor ierunkowy na przykład

Czy wgl istnieje taka płaszczyzna ? Czy zad ma rozwiązanie ?

[Jan Kraszewski]

Czy wgl istnieje taka płaszczyzna ? Czy zad ma rozwiązanie ?

Ma. Postaraj to sobie wyobrazić - przez prostą i punkt w przestrzeni zawsze przechodzi płaszczyzna, a jak punkt nie leży na prostej, to jest ona jedyna.

Albo inaczej - płaszczyzna jest jednoznacznie wyznaczona przez trzy niewspółliniowe punkty. Prosta jest wyznaczona jednoznacznie przez dwa punkty. Wystarczy zatem wziąć dwa punkty z prostej, dodać punkt który masz i już masz płaszczyznę.

JK

[Multivitale]

Czy mógłby ktoś podać te 2 punkty z prostej ?

[Jan Kraszewski]

A dlaczego nie możesz znaleźć ich sama?

Rozumiesz, co oznacza zapis \(\displaystyle{ \frac{x-1}{0} = \frac{y+1}{1}= \frac{z}{2}}\) ?

JK

[krokodyl7wody]

Równanie parametryczne prostej \(\displaystyle{ L}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = 1 + 0t\\ y = -1 +t \\z=0+2t \end{cases} }\)
Wybieram dowolne 2 punkty leżące na prostej \(\displaystyle{ L}\)
\(\displaystyle{ A(1,-1,0) }\) ( tutaj przyjąłem \(\displaystyle{ t=0}\) )
\(\displaystyle{ B(1,0,2) }\) ( tutaj przyjąłem \(\displaystyle{ t=1}\) )

Podstawiam do równania płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty (

Kod: Zaznacz cały

https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/tiki-index.php?page=P%C5%82aszczyzny+w+tr%C3%B3jwymiarowej+przestrzeni+rzeczywistej

)
czyli liczę wyznacznik z (następnie wyznacznik przyrównuje do zera)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}(x-2)&(y-0)&(z-1) \\ 1-2&-1-0&0-1 \\ 1-2 & 0-0 & 2-1\end{array}\right]}\)
czyli
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}(x-2)&(y-0)&(z-1) \\ -1&-1&-1 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ = -x+2y-z+3 = 0 }\)
Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P}\) oraz zawierającej prostą \(\displaystyle{ L}\)
\(\displaystyle{ x-2y+z-3=0}\)