Równanie płaszczyny stycznej
-
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 22 paź 2019, o 19:55
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 22 razy
Równanie płaszczyny stycznej
Witam, mam problem z zadaniem, gdzie muszę napisać równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni \(\displaystyle{ x^{2}+2y^{2}+ z^{2} =1 }\), równoległej do płaszczyzny \(\displaystyle{ x-y+2z=0}\)
Ktoś mógłby podpowiedzieć jak wyznaczyc punkt styczności?
Pozdrawiam
Ktoś mógłby podpowiedzieć jak wyznaczyc punkt styczności?
Pozdrawiam
-
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 22 paź 2019, o 19:55
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 22 razy
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Równanie płaszczyny stycznej
Postawiłbym raczej na proporcjonalność wektorów normalnych.
PS
Co zabawne, zadanie można rozwiązać bez znajomości punktów styczności.
Układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}+2y^{2}+ z^{2} =1 \\ x-y+2z+D=0 \end{cases} }\)
ma jeden punkt wspólny gdy równanie:
\(\displaystyle{ (y-2z-D)^2+2y^{2}+ z^{2} -1=0}\)
a ściślej:
\(\displaystyle{ 3y^2-2(2z+D)y+(2z+D)^2+z^2-1=0}\)
ma zerowy wyróżnik.
\(\displaystyle{ 0=4\left[(2z+D)^2-3((2z+D)+z^2-1) \right] \\
11z^2+8Dz+2D^2-3=0}\)
Tu także \(\displaystyle{ \Delta=0}\) więc \(\displaystyle{ D=- \sqrt{ \frac{11}{2} } \vee D= \sqrt{ \frac{11}{2} }}\)
Ostatecznie:
Istnieją dwie płaszczyzny spełniające warunki zadania: \(\displaystyle{ x-y+2z-\sqrt{ \frac{11}{2} }=0 }\) oraz \(\displaystyle{ x-y+2z+\sqrt{ \frac{11}{2} }=0 }\)
PS
Co zabawne, zadanie można rozwiązać bez znajomości punktów styczności.
Układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}+2y^{2}+ z^{2} =1 \\ x-y+2z+D=0 \end{cases} }\)
ma jeden punkt wspólny gdy równanie:
\(\displaystyle{ (y-2z-D)^2+2y^{2}+ z^{2} -1=0}\)
a ściślej:
\(\displaystyle{ 3y^2-2(2z+D)y+(2z+D)^2+z^2-1=0}\)
ma zerowy wyróżnik.
\(\displaystyle{ 0=4\left[(2z+D)^2-3((2z+D)+z^2-1) \right] \\
11z^2+8Dz+2D^2-3=0}\)
Tu także \(\displaystyle{ \Delta=0}\) więc \(\displaystyle{ D=- \sqrt{ \frac{11}{2} } \vee D= \sqrt{ \frac{11}{2} }}\)
Ostatecznie:
Istnieją dwie płaszczyzny spełniające warunki zadania: \(\displaystyle{ x-y+2z-\sqrt{ \frac{11}{2} }=0 }\) oraz \(\displaystyle{ x-y+2z+\sqrt{ \frac{11}{2} }=0 }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 22 paź 2019, o 19:55
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 22 razy
Re: Równanie płaszczyny stycznej
Dziękuję za odpowiedzi.
Jeszcze mam jedno pytanie co do równania powierzchni.
Gdy mam \(\displaystyle{ 2z= x^{2}+ y^{2} }\).To rozumiem, że jest to równanie w postaci uwikłanej, ale jeśli podzielę przez 2 to wtedy już wyznaczam płaszczyzne styczną ze wzoru dla postaci jawnej?
Jeszcze mam jedno pytanie co do równania powierzchni.
Gdy mam \(\displaystyle{ 2z= x^{2}+ y^{2} }\).To rozumiem, że jest to równanie w postaci uwikłanej, ale jeśli podzielę przez 2 to wtedy już wyznaczam płaszczyzne styczną ze wzoru dla postaci jawnej?
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Równanie płaszczyny stycznej
a) Jeśli to kolejne zadanie to może przedstaw pełną jego treść. Dopiero wtedy można będzie jednoznacznie odpowiedzieć na stawiane pytania.
b) W pierwotnym zadaniu takie równanie nie występuje.
Niech \(\displaystyle{ F(x,y,z) =x^2+2y^2+z^2-1=0 }\)
Aby znaleźć punkty styczności porównujesz :
\(\displaystyle{ grad(F)=k \vec{n} }\)
a stąd:
\(\displaystyle{ \left[ 2x_0,4y_0,2z_0\right]=k\left[ 1,-1,2\right] \\
\begin{cases} 2x_0=k \\ 4y_0=-k \\ 2z_0=2k \end{cases} }\)
wyliczone sparametryzowane współrzędne punktu styczności wstaw do równania elipsoidy i wyznacz \(\displaystyle{ k }\) .
Znając wartość \(\displaystyle{ k}\) wylicz punkty styczności i równania płaszczyzn stycznych.
-
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 22 paź 2019, o 19:55
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 22 razy
Re: Równanie płaszczyny stycznej
Nie, nie, to poprzednie zadanie już właśnie zrozumiałem, tylko chodziło mi o zadanie innego typu.
Na przykład, gdzie mam napisać równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni \(\displaystyle{ 2z = x ^{2} + y ^{2}}\) w punkcie (2, 2, 4).
I po prostu nie wiem czy mam skorzystać z wzoru na postać uwikłaną, czy podzielić przez 2 i traktować jako postać jawną?
Na przykład, gdzie mam napisać równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni \(\displaystyle{ 2z = x ^{2} + y ^{2}}\) w punkcie (2, 2, 4).
I po prostu nie wiem czy mam skorzystać z wzoru na postać uwikłaną, czy podzielić przez 2 i traktować jako postać jawną?
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Równanie płaszczyny stycznej
I dlatego w przyszłości jak będziesz chciał zadać nowe pytanie, to załóż nowy temat.
JK