równanie płaszczyzny

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
wero0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 21 kwie 2020, o 10:50
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 5 razy

równanie płaszczyzny

Post autor: wero0 »

Napisać równanie płaszczyzny, która przechodzi przez
d) dwie proste równoległe \(\displaystyle{ l_1: \frac{x}{2}=y-1= \frac{z+2}{3}}\) i \(\displaystyle{ l_2: \frac{x-3}{2}=y=\frac{z}{3}}\)
e) prostą \(\displaystyle{ \frac{x}{2}=y-1= \frac{z+2}{3}}\) i jest równoległa do prostej \(\displaystyle{ x=y= \frac{z}{3}}\)

Proszę o jakiś sposób, jak rozwiązać te podpunkty, o ile pierwszy jest w miarę jasny, o tyle sformułowanie drugiego jest kompletnie niezrozumiałe..
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: równanie płaszczyzny

Post autor: a4karo »

d: a potrafisz napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty? To sobie wybierz dwa na jednej prostej, trzeci na drugiej

e co wiesz o wektorze normalnym szukanej płaszczyzny?
wero0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 21 kwie 2020, o 10:50
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 5 razy

Re: równanie płaszczyzny

Post autor: wero0 »

a4karo pisze: 21 kwie 2020, o 22:20 d: a potrafisz napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty? To sobie wybierz dwa na jednej prostej, trzeci na drugiej

e co wiesz o wektorze normalnym szukanej płaszczyzny?
d: potrafię, mam problem z wybraniem tych punktów, moje to \(\displaystyle{ A=(2,2,1),B=(4,3,4),C=(3,0,0)}\), co oczywiście po wyliczeniu iloczynu skalarnego i podstawieniu do równania nie zgadza się z odpowiedziami...
e: wektor normalny to wektor prostopadły do płaszczyzny
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: równanie płaszczyzny

Post autor: a4karo »

A jakie iloczyny skalarne liczysz?

Jak nie pokażesz obliczeń, to trudno będzie skorygować to, co robisz.


e: to nie jest duże odkrycie. to prawie definicja wektora normalnego. Chodzi o to, żebyś pomyślał jak leży on w stosunku do obu prostych (a raczej w stosunku do ich wektorów kierunkowych)
wero0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 21 kwie 2020, o 10:50
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 5 razy

Re: równanie płaszczyzny

Post autor: wero0 »

a4karo pisze: 22 kwie 2020, o 12:43 A jakie iloczyny skalarne liczysz?

Jak nie pokażesz obliczeń, to trudno będzie skorygować to, co robisz.


e: to nie jest duże odkrycie. to prawie definicja wektora normalnego. Chodzi o to, żebyś pomyślał jak leży on w stosunku do obu prostych (a raczej w stosunku do ich wektorów kierunkowych)
d: z moich punktów wyznaczam wektory \(\displaystyle{ \overrightarrow{P_1P_2}=(2,1,3) \\\overrightarrow{P_2P_3}=(-1,-3,-4)}\) następnie ich iloczyn skalarny \(\displaystyle{ \overrightarrow{v}=(5,-5,-5)}\) i jest to wektor normalny szukanej płaszczyzny, podstawiam razem z punktem \(\displaystyle{ P_1=(2,2,1)}\) do wzoru ogólnego i wychodzi mi \(\displaystyle{ x-y-z-1=0}\), co nie zgadza się z odpowiedzią
e: nie mam pojęcia, ja sobie nawet nie umiem tego wyobrazić..
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: równanie płaszczyzny

Post autor: a4karo »

Od kiedy iloczyn skalarny jest wektorem?

Czym są punkty `P_i;?

Dodano po 7 minutach 49 sekundach:
E. Usiądź przy stole i stole wyobraź sobie, że prosta leży na nim. Gdzie jest wektor kierunkowy tej prostej.
Gdzie jest wektor normalny płaszczyzny stołu?

Gdzie jest ta druga prosta? Co powiesz o jej wektorze kierunkowym i wektorze normalnym do stołu?
wero0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 21 kwie 2020, o 10:50
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 5 razy

Re: równanie płaszczyzny

Post autor: wero0 »

a4karo pisze: 22 kwie 2020, o 13:31 Od kiedy iloczyn skalarny jest wektorem?

Czym są punkty `P_i;?

Dodano po 7 minutach 49 sekundach:
E. Usiądź przy stole i stole wyobraź sobie, że prosta leży na nim. Gdzie jest wektor kierunkowy tej prostej.
Gdzie jest wektor normalny płaszczyzny stołu?

Gdzie jest ta druga prosta? Co powiesz o jej wektorze kierunkowym i wektorze normalnym do stołu?
pomyłka, chodziło mi o iloczyn wektorowy
te punkty, to trzy punkty należące do prostej, które miałam sobie wybrać, ale chyba jednak nie wiem jak to zrobić

e: wektor kierunkowy prostej jest na stole, a wektor normalny stołu przecina prostą prostopadle, czyli te dwa wektory są do siebie prostopadłe?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: równanie płaszczyzny

Post autor: a4karo »

To po co mnożysz byty. Przecież już je nazwałeś. Trzymaj się tych oznaczeń. pokaż pełne obliczenia

e: tak. A co powiesz o tej drugiej prostej i jej wektorze kierunkowym?
wero0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 21 kwie 2020, o 10:50
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 5 razy

Re: równanie płaszczyzny

Post autor: wero0 »

a4karo pisze: 22 kwie 2020, o 13:49 To po co mnożysz byty. Przecież już je nazwałeś. Trzymaj się tych oznaczeń. pokaż pełne obliczenia

e: tak. A co powiesz o tej drugiej prostej i jej wektorze kierunkowym?
no to są pełne obliczenia od początku do końca co zrobiłam..

wektor kierunkowy drugiej prostej jest równoległy do tamtych dwóch? do ich iloczynu wektorowego?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: równanie płaszczyzny

Post autor: a4karo »

Jak może być równoległy do dwóch prostopadłych wektorów naraz?

Masz błąd w obliczeniu stałej płaszczyzny w b)
wero0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 21 kwie 2020, o 10:50
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 5 razy

Re: równanie płaszczyzny

Post autor: wero0 »

a4karo pisze: 22 kwie 2020, o 14:20 Jak może być równoległy do dwóch prostopadłych wektorów naraz?

Masz błąd w obliczeniu stałej płaszczyzny w b)
nie wiem, zadajesz mi pytania a ja coraz mniej to widzę w głowie...

zauważyłam błąd, poprawiłam i równanie z podpunktu d) wyszło już dobrze, możesz teraz rozpisać mi to e) w zrozumiały (najlepiej mniej matematyczny :) ) sposób?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: równanie płaszczyzny

Post autor: a4karo »

SOrry, z e) to chyba trochę pomieszałem.

Wektor kierunkowy pierwszej prostej ma leżeć w szukanej płaszczyżnie, a zatem ma być prostopadły do jej wektora normalnego.
Z drugiej strony płaszczyzna ma być równoległa do drugiej prostej, a zatem jej wektor normalny ma być prostopadły do wektora kierunkowego tej prostej.

No to masz dwa wektory, do których wektor normalny płaszczyzny ma być prostopadły. To wystarczy do jego wyznaczenia
Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 668
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 206 razy

Re: równanie płaszczyzny

Post autor: JHN »

wero0 pisze: 21 kwie 2020, o 21:22 Napisać równanie płaszczyzny, która przechodzi przez
e) prostą \(\displaystyle{ \frac{x}{2}=y-1= \frac{z+2}{3}}\) i jest równoległa do prostej \(\displaystyle{ x=y= \frac{z}{3}}\)
Zapis \(\displaystyle{ l: \frac{x}{2}=y-1= \frac{z+2}{3}}\) jest równoważny
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} \frac{x}{2}=t \\ y-1=t\\\frac{z+2}{3}=t\end{cases} \wedge t\in\RR\iff l:\begin{cases} x=0+2t \\ y=1+1t\\z=-2+3t\end{cases} \wedge t\in\RR}\)
i masz zapis postaci parametrycznej jak w poprzednim wątku oraz \(\displaystyle{ \vec{v_l}=[2,1,3]}\)
Analogicznie
\(\displaystyle{ k: x=y= \frac{z}{3}\iff k:\begin{cases} x=0+1t \\ y=0+1t\\z=0+3t\end{cases} \wedge t\in\RR}\)
stąd współrzędne wektora rozpinającego prostą \(\displaystyle{ k}\)...
!) Wektor normalny do szukanej płaszczyzny musi być prostopadły do każdego z powyższych wektorów rozpinających proste, zatem wystarczy pomnożyć je wektorowo...
!!) Do płaszczyzny należy np. punkt\(\displaystyle{ (0,1,-2)}\) - co wystarcza do wyznaczenia współczynnika \(\displaystyle{ D}\) w równaniu płaszczyzny

Pozdrawiam

[edited] poprawa bad-click
wero0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 21 kwie 2020, o 10:50
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 5 razy

Re: równanie płaszczyzny

Post autor: wero0 »

JHN pisze: 22 kwie 2020, o 15:30
wero0 pisze: 21 kwie 2020, o 21:22 Napisać równanie płaszczyzny, która przechodzi przez
e) prostą \(\displaystyle{ \frac{x}{2}=y-1= \frac{z+2}{3}}\) i jest równoległa do prostej \(\displaystyle{ x=y= \frac{z}{3}}\)
Zapis \(\displaystyle{ l: \frac{x}{2}=y-1= \frac{z+2}{3}}\) jest równoważny
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} \frac{x}{2}=t \\ y-1=t\\\frac{z+2}{3}=t\end{cases} \wedge t\in\RR\iff l:\begin{cases} x=0+2t \\ y=1+1t\\z=-2+3t\end{cases} \wedge t\in\RR}\)
i masz zapis postaci parametrycznej jak w poprzednim wątku oraz \(\displaystyle{ \vec{v_l}=[2,1,3]}\)
Analogicznie
\(\displaystyle{ k: x=y= \frac{z}{3}\iff k:\begin{cases} x=0+1t \\ y=0+1t\\z=0+3t\end{cases} \wedge t\in\RR}\)
stąd współrzędne wektora rozpinającego prostą \(\displaystyle{ k}\)...
!) Wektor normalny do szukanej płaszczyzny musi być prostopadły do każdego z powyższych wektorów rozpinających proste, zatem wystarczy pomnożyć je wektorowo...
!!) Do płaszczyzny należy np. punkt\(\displaystyle{ (0,1,-2)}\) - co wystarcza do wyznaczenia współczynnika \(\displaystyle{ D}\) w równaniu płaszczyzny

Pozdrawiam

[edited] poprawa bad-click
Wszystko jasne, dziękuję pięknie! <3
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: równanie płaszczyzny

Post autor: a4karo »

JHN pisze: 22 kwie 2020, o 15:30
Zapis \(\displaystyle{ l: \frac{x}{\red2}=\frac{y-1}{\blue1}= \frac{z+2}{\green3}}\) jest równoważny
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} \frac{x}{2}=t \\ y-1=t\\\frac{z+2}{3}=t\end{cases} \wedge t\in\RR\iff l:\begin{cases} x=0+2t \\ y=1+1t\\z=-2+3t\end{cases} \wedge t\in\RR}\)
i masz zapis postaci parametrycznej jak w poprzednim wątku oraz \(\displaystyle{ \vec{v_l}=[\red2,\blue1,\green3]}\)
Pokazałeś ciekawy sposób wyliczenia kolorowych współczynników :lol:
ODPOWIEDZ