rzut punktu na płaszczyznę

[wero0]

Wyznaczyć:
a) rzut punktu \(\displaystyle{ (0;3;3)}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ 2x+3y-z+1=0}\)
b) rzut punktu \(\displaystyle{ (1;0;-2)}\) na prostą \(\displaystyle{ x+y-2z=0, x-y+3=0}\)

[Jan Kraszewski]

No i z czym masz problem?

JK

[wero0]

skoro dodałam post to najwidoczniej ze wszystkim, wykłady online na mojej uczelni nie istnieją, zadania trzeba odesłać, a nie wiem nawet od czego zacząć, więc jeśli ktoś tutaj może mi pomóc to o tą pomoc proszę

[Jan Kraszewski]

To na początek proponuję lekturę:

Kod: Zaznacz cały

http://www.math.uni.wroc.pl/sites/default/files/skrypt_al2.pdf

.

Np. w a) musisz wyznaczyć prostą prostopadłą do płaszczyzny przechodzącą przez dany punkt. Punkt wspólny tej prostej i płaszczyzny to szukany punkt. A prostą wyznaczysz korzystając z tego, że wektor normalny płaszczyzny jest równocześnie wektorem generującym tę prostą.

Ogólnie zawsze warto wyobrazić sobie tę sytuację, żeby nie pozostać na poziomie manipulowania znaczkami. To w końcu geometria.

JK

[wero0]

To na początek proponuję lekturę:

Kod: Zaznacz cały

http://www.math.uni.wroc.pl/sites/default/files/skrypt_al2.pdf

.

Np. w a) musisz wyznaczyć prostą prostopadłą do płaszczyzny przechodzącą przez dany punkt. Punkt wspólny tej prostej i płaszczyzny to szukany punkt. A prostą wyznaczysz korzystając z tego, że wektor normalny płaszczyzny jest równocześnie wektorem generującym tę prostą.

JK

wyznaczyłam prostą prostopadłą, podstawiłam do równania prostej przechodzącego przez podany punkt, znalazłam punkt wspólny prostej i płaszczyzny, podstawiłam do równania płaszczyzny, by wyliczyć parametr, a później znowu do punktu wspólnego i wychodzi mi źle. Mój wynik to \(\displaystyle{ x= -\frac{6}{7}}\), \(\displaystyle{ y= \frac{12}{7}}\) i \(\displaystyle{ z= \frac{24}{7}}\), co zupełnie nie zgadza się z odpowiedziami. I teraz nie wiem - błąd w obliczeniach, czy da się coś zrobic z wynikiem, by przekształcić go do postaci \(\displaystyle{ (-1; \frac{3}{2}; \frac{7}{2})}\) (tak jest w odpowiedziach).

[Jan Kraszewski]

wyznaczyłam prostą prostopadłą, podstawiłam do równania prostej przechodzącego przez podany punkt, znalazłam punkt wspólny prostej i płaszczyzny, podstawiłam do równania płaszczyzny, by wyliczyć parametr, a później znowu do punktu wspólnego i wychodzi mi źle.

Może pokaż rachunki, wtedy zobaczymy, czy robisz źle, czy po prosu pomyliłaś się w rachunkach. Bo np. nie bardzo wiem, o jakim parametrze mówisz.

JK

[JHN]

Wyznaczyć:
a) rzut punktu \(\displaystyle{ A=(0;3;3)}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi: 2x+3y-z+1=0}\)

\(\displaystyle{ \pi :2x+3y-z+1=0}\)
Tak, jak sugerował JK
\(\displaystyle{ \vec{N_\pi}=[2,3,-1]=\vec{v_l}}\)
postać parametryczna \(\displaystyle{ l}\)
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x=0+2t\\ y=3+3t\\ z=3-t\end{cases} \wedge t\in\RR}\)
\(\displaystyle{ A'\in\pi}\), zatem
\(\displaystyle{ 2\cdot 2t+3\cdot(3+3t)-(3-t)+1=0}\)
\(\displaystyle{ t=-\frac{1}{2}}\)
odp:
\(\displaystyle{ A'\left(-1,\ \frac{3}{2},\ \frac{7}{2}\right)}\)

Pozdrawiam

[wero0]

dziękuję pięknie, już widzę, gdzie popełniałam błąd, jednak nie rozumiem czemu na końcu, podstawiając do wzoru, dodajemy 1? Wzór ogólny to \(\displaystyle{ A_x+B_y+C_z+1}\)?

I może małe naprowadzenie, jak zabrać się za przykład b...

[JHN]

Wzór ogólny to \(\displaystyle{ A_x+B_y+C_z+1}\)?

Nie! $$Ax+By+Cz+D=0$$

I może małe naprowadzenie, jak zabrać się za przykład b...

-) Przeprowadź prostą z postaci krawędziowej w postać parametryczną.
-) iloczyn skalarny wektora rozpinającego prostą i \(\displaystyle{ \vec{AA'}}\) musi być zerem

Pozdrawiam

[wero0]

-) Przeprowadź prostą z postaci krawędziowej w postać parametryczną.
-) iloczyn skalarny wektora rozpinającego prostą i \(\displaystyle{ \vec{AA'}}\) musi być zerem

już wywnioskowałam skąd wzięła się jedynka!
a tutaj, sprowadzając do postaci parametrycznej, ma to wyglądać tak: \(\displaystyle{ \frac{x+y-2z}{1}= \frac{x-y+3}{-2}}\)?

[JHN]

b) rzut punktu \(\displaystyle{ (1;0;-2)}\) na prostą \(\displaystyle{ x+y-2z=0, x-y+3=0}\)

...sprowadzając do postaci parametrycznej, ma to wyglądać tak: \(\displaystyle{ \frac{x+y-2z}{1}= \frac{x-y+3}{-2}}\)?

Masz pomysły...

\(\displaystyle{ \vec{v_l}=[1,1,-2]\times[1,-1,0]=\cdots}\)
np. \(\displaystyle{ \left(0,3,\frac{3}{2}\right)\in l}\)
postać parametryczna:
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x=0+t\cdot x_v\\y=3+t\cdot y_v\\z=\frac{3}{2}+t\cdot z_v \end{cases} \wedge t\in\RR}\)
....

Pozdrawiam
PS. Bez spotkania ze skryptem nic z tego nie będzie

[wero0]

b) rzut punktu \(\displaystyle{ (1;0;-2)}\) na prostą \(\displaystyle{ x+y-2z=0, x-y+3=0}\)

...sprowadzając do postaci parametrycznej, ma to wyglądać tak: \(\displaystyle{ \frac{x+y-2z}{1}= \frac{x-y+3}{-2}}\)?

Masz pomysły...

\(\displaystyle{ \vec{v_l}=[1,1,-2]\times[1,-1,0]=\cdots}\)
np. \(\displaystyle{ \left(0,3,\frac{3}{2}\right)\in l}\)
postać parametryczna:
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x=0+t\cdot x_v\\y=3+t\cdot y_v\\z=\frac{3}{2}+t\cdot z_v \end{cases} \wedge t\in\RR}\)
....

Pozdrawiam
PS. Bez spotkania ze skryptem nic z tego nie będzie

dla mnie już to co jest napisane w skrypcie jest kompletnie niezrozumiałe... Możesz mi ten przykład B wyjaśnić jakoś prościej, mniej matematycznie?

[JHN]

Trudno mało matematycznie opowiadać o geometrii analitycznej w przestrzeni... Przyda się odrobina Twojej wyobraźni.

Masz podane równania dwóch płaszczyzn, które przecinają się wzdłuż pewnej prostej - to tzw. równanie krawędziowe. Wektory normalne do tych płaszczyzn są prostopadłe do wektora rozpinającego prostą (potrzebny do postaci parametrycznej)
Zatem iloczyn wektorowy wektorów normalnych wyznaczy ten wektor
\(\displaystyle{ \vec{v_l}=[1,1,-2]\times[1,-1,0]=[-2,-2,-2]}\)
do obu płaszczyzn należy np. \(\displaystyle{ \left(0,3,\frac{3}{2}\right)}\), czyli należy do szukanej prostej.
Zatem postać parametryczna:
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x=0-2t\\y=3-2t\\z=\frac{3}{2}-2t \end{cases} \wedge t\in\RR}\)
Do tej prostej, dla pewnego parametru \(\displaystyle{ t}\) należy punkt \(\displaystyle{ A'}\) - rzut prostokątny punktu \(\displaystyle{ A}\), zatem wektor \(\displaystyle{ \vec{AA'}=\left[-2t-1,3-2t-0,\frac{3}{2}-2t+2\right]}\) musi być prostopadły do prostej, w szczególności do wektora \(\displaystyle{ \vec{v_l}}\)
Ostateczne rozstrzygnięcie przyniesie
\(\displaystyle{ \left[-2t-1,3-2t,\frac{7}{2}-2t\right]\circ[-2,-2,-2]=0\iff 4t+2-6+4t-7+4t=0}\)
Skoro \(\displaystyle{ t=\frac{11}{12}}\), to \(\displaystyle{ A': \begin{cases} x=0-2\cdot\frac{11}{12}\\y=3-2\cdot\frac{11}{12}\\z=\frac{3}{2}-2\cdot\frac{11}{12} \end{cases}}\)

Rachunki do sprawdzenia!
Pozdrawiam
PS.
Matematyka jest jak kobieta - nie trzeba Jej rozumieć, wystarczy nauczyć się z Nią żyć!
A jak nie przeznaczysz Jej wystarczająco dużo czasu - odejdzie!!

[edited] ups... nie bierz komentarza zbytnio do siebie

[wero0]

Trudno mało matematycznie opowiadać o geometrii analitycznej w przestrzeni... Przyda się odrobina Twojej wyobraźni.

Masz podane równania dwóch płaszczyzn, które przecinają się wzdłuż pewnej prostej - to tzw. równanie krawędziowe. Wektory normalne do tych płaszczyzn są prostopadłe do wektora rozpinającego prostą (potrzebny do postaci parametrycznej)
Zatem iloczyn wektorowy wektorów normalnych wyznaczy ten wektor
\(\displaystyle{ \vec{v_l}=[1,1,-2]\times[1,-1,0]=[-2,-2,-2]}\)
do obu płaszczyzn należy np. \(\displaystyle{ \left(0,3,\frac{3}{2}\right)}\), czyli należy do szukanej prostej.
Zatem postać parametryczna:
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x=0-2t\\y=3-2t\\z=\frac{3}{2}-2t \end{cases} \wedge t\in\RR}\)
Do tej prostej, dla pewnego parametru \(\displaystyle{ t}\) należy punkt \(\displaystyle{ A'}\) - rzut prostokątny punktu \(\displaystyle{ A}\), zatem wektor \(\displaystyle{ \vec{AA'}=\left[-2t-1,3-2t-0,\frac{3}{2}-2t+2\right]}\) musi być prostopadły do prostej, w szczególności do wektora \(\displaystyle{ \vec{v_l}}\)
Ostateczne rozstrzygnięcie przyniesie
\(\displaystyle{ \left[-2t-1,3-2t,\frac{7}{2}-2t\right]\circ[-2,-2,-2]=0\iff 4t+2-6+4t-7+4t=0}\)
Skoro \(\displaystyle{ t=\frac{11}{12}}\), to \(\displaystyle{ A': \begin{cases} x=0-2\cdot\frac{11}{12}\\y=3-2\cdot\frac{11}{12}\\z=\frac{3}{2}-2\cdot\frac{11}{12} \end{cases}}\)

Rachunki do sprawdzenia!
Pozdrawiam
PS.
Matematyka jest jak kobieta - nie trzeba Jej rozumieć, wystarczy nauczyć się z Nią żyć!
A jak nie przeznaczysz Jej wystarczająco dużo czasu - odejdzie!!

[edited] ups... nie bierz komentarza zbytnio do siebie

Dziękuję za piękne wytłumaczenie, bardzo się przydało i będę korzystać również przy innych zadaniach, a co do matematyki to ostatnio zapieram się rękami i nogami żeby tylko ode mnie nie odeszła
Pozdrawiam również