wierzchołki trójkąta równoramiennego

[wero0]

Wyznaczyć wierzchołki trójkąta równoramiennego, którego podstawa leży na prostej \(\displaystyle{ x+y=5}\), jedno ramię leży na prostej \(\displaystyle{ 2x-3y=0}\), a drugie ramię leży na prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P=(4;6)}\).

Wydaje mi się, że zadanie nie jest trudne, tylko ja czegoś nie zauważam. Mam jeden wierzchołek, wynikający z przecięcia dwóch prostych, jego współrzędne to \(\displaystyle{ B=(3;2)}\). Myślę, że to, że trójkąt jest równoramienny też odgrywa tu jakąś rolę, może ktoś mnie chociaż naprowadzić?:(

[Jan Kraszewski]

Piszesz ogólny wzór na prostą przechodzącą przez \(\displaystyle{ P}\), wyznaczasz jej punkty przecięcia z pozostałymi dwiema prostymi, liczysz długości ramion i porównujesz.

JK

[piasek101]

Albo (bo nie wiem czy nie będzie problemów z powyższym - nie robiłem) :
- poprowadzić prostą (k) prostopadłą do \(\displaystyle{ y=-x+5}\)(*) idącą przez \(\displaystyle{ (4;6)}\).
- (k) przetnie (*) w punkcie \(\displaystyle{ S}\); czyli środku odcinka \(\displaystyle{ BA_1}\) leżącego na (*)
- mając \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ S}\) wyznaczamy \(\displaystyle{ A_1}\)
- (k) przetnie \(\displaystyle{ y=\frac{2}{3}x}\)(**) w punkcie \(\displaystyle{ C_1}\)
- szukamy prostej (***) (dokładniej jej wsp. kierunkowego) \(\displaystyle{ A_1 C_1}\), znamy oba punkty
- wyznaczamy prostą \(\displaystyle{ AC}\) - jest równoległa do \(\displaystyle{ A_1 C_1}\) i idzie przez \(\displaystyle{ (4;6)}\)
- wyznaczyć \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\) jako punkty przecięcia prostej \(\displaystyle{ AC}\) z danymi prostymi z zadania.

[wero0]

Albo (bo nie wiem czy nie będzie problemów z powyższym - nie robiłem) :
- poprowadzić prostą (k) prostopadłą do \(\displaystyle{ y=-x+5}\)(*) idącą przez \(\displaystyle{ (4;6)}\).
- (k) przetnie (*) w punkcie \(\displaystyle{ S}\); czyli środku odcinka \(\displaystyle{ BA_1}\) leżącego na (*)
- mając \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ S}\) wyznaczamy \(\displaystyle{ A_1}\)
- (k) przetnie \(\displaystyle{ y=\frac{2}{3}x}\)(**) w punkcie \(\displaystyle{ C_1}\)
- szukamy prostej (***) (dokładniej jej wsp. kierunkowego) \(\displaystyle{ A_1 C_1}\), znamy oba punkty
- wyznaczamy prostą \(\displaystyle{ AC}\) - jest równoległa do \(\displaystyle{ A_1 C_1}\) i idzie przez \(\displaystyle{ (4;6)}\)
- wyznaczyć \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\) jako punkty przecięcia prostej \(\displaystyle{ AC}\) z danymi prostymi z zadania.

Próbuje tak to rozwiązać, ale problem pojawia się już na początku, po wyznaczeniu prostej prostopadłej do AB, jak chcę znaleźć współrzędne punktu S, daję obie te proste w układ równań i niewiadome się zerują...

[piasek101]

Jaką masz prostą prostopadłą do \(\displaystyle{ AB}\) ?

Zrób w miarę dokładny szkic - aby móc sprawdzać co ma wyjść.

[wero0]

Jaką masz prostą prostopadłą do \(\displaystyle{ AB}\) ?

Zrób w miarę dokładny szkic - aby móc sprawdzać co ma wyjść.

Zrobiłam kilka razy, w ostateczności wyszedł mi punkt A o współrzędnych 0 i 5, tylko że nie zgadza się to z odpowiedziami, bo powinien mieć współrzędne 0 i 0 lub 2 i 3.
Nie mam pojęcia co robię źle

[piasek101]

I z mojego tak wychodzi.
Po kolei :
1) podaj wzór prostopadłej do \(\displaystyle{ y=-x+5}\) idącej przez \(\displaystyle{ (4;6)}\), czyli prostej (k).

[wero0]

I z mojego tak wychodzi.
Po kolei :
1) podaj wzór prostopadłej do \(\displaystyle{ y=-x+5}\) idącej przez \(\displaystyle{ (4;6)}\), czyli prostej (k).

wzór wychodzi \(\displaystyle{ y=x+2}\)

[piasek101]

ok
2) punkt przecięcia (k) z (*) to ? Czyli ten \(\displaystyle{ S}\) (wg moich oznaczeń).
3) punkt przecięcia (k) z (**) to ? Czyli ten \(\displaystyle{ C_1}\).

[wero0]

ok
2) punkt przecięcia (k) z (*) to ? Czyli ten \(\displaystyle{ S}\) (wg moich oznaczeń).
3) punkt przecięcia (k) z (**) to ? Czyli ten \(\displaystyle{ C_1}\).

2) punkt \(\displaystyle{ S=(3/2;7/2)}\)
3) ten punkt wychodzi mi \(\displaystyle{ C_1=(-6;-4)}\)
Zastanawiam się jednak, czy ogólnie to myślenie jest dobre, jeśli prosta \(\displaystyle{ k}\) ma być prostopadła do \(\displaystyle{ AB}\), to czy punkt \(\displaystyle{ P}\) nie będzie równy wierzchołkowi \(\displaystyle{ C}\)?

[piasek101]

2) ok
3) ok
Co do pytania - nie. Sposób jest ok. Szukamy (na początku) trójkąta równoramiennego \(\displaystyle{ BC_1 A_1}\), którego dwa boki leżą odpowiednio na prostych z zadania, trzeci \(\displaystyle{ A_1C_1}\) jest równoległy do \(\displaystyle{ AC}\) szukanego.
4) mając \(\displaystyle{ S}\) i \(\displaystyle{ B}\), szukamy \(\displaystyle{ A_1}\). Co masz ?

[wero0]

2) ok
3) ok
Co do pytania - nie. Sposób jest ok. Szukamy (na początku) trójkąta równoramiennego \(\displaystyle{ BC_1 A_1}\), którego dwa boki leżą odpowiednio na prostych z zadania, trzeci \(\displaystyle{ A_1C_1}\) jest równoległy do \(\displaystyle{ AC}\) szukanego.
4) mając \(\displaystyle{ S}\) i \(\displaystyle{ B}\), szukamy \(\displaystyle{ A_1}\). Co masz ?

\(\displaystyle{ A_1}\) to już szukany wierzchołek \(\displaystyle{ A}\), prawda? W takim razie wychodzi mi, że \(\displaystyle{ x_a=0}\) oraz \(\displaystyle{ y_a=5}\) i tutaj moja niezgodność

[piasek101]

To nie jest szukany.

W poprzednim napisałem ,,Szukamy (na początku) trójkąta \(\displaystyle{ BC_1A_1}\)..."

Ale \(\displaystyle{ A_1}\) masz ok.

5)Teraz prosta \(\displaystyle{ A_1C_1}\). Jej współczynnik kierunkowy ?

[wero0]

To nie jest szukany.

W poprzednim napisałem ,,Szukamy (na początku) trójkąta \(\displaystyle{ BC_1A_1}\)..."

Ale \(\displaystyle{ A_1}\) masz ok.

5)Teraz prosta \(\displaystyle{ A_1C_1}\). Jej współczynnik kierunkowy ?

równanie prostej wyszło mi \(\displaystyle{ y= \frac{3}{2}x+5}\), więc współczynnik kierunkowy to \(\displaystyle{ \frac{3}{2} }\)

[piasek101]

O jesteś.
Tak.
6) Prosta \(\displaystyle{ AB}\) równoległa do ostatniej idąca przez \(\displaystyle{ (4;6)}\) ?